2015-06-10
436
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОТКАЗОВ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
Приведенные выше формулы Бернулли и Пуассона аналитически описывают распределение вероятностей между возможными значениями случайной величины (число отказов элементов TS за единицу времени). Удобно представить эти формулы в виде матрицы, где первая строка содержит возможные значения случайной величины в возрастающем порядке (вариационный ряд), вторая строка − соответствующие им вероятности.
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Биноминальное распределение:
;
Распределение Пуассона:
.
Пример: TS состоит из трех однородных, независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за единицу времени равна 
. Составить закон распределения вероятностей случайной величины − число отказавших элементов.
Решение: Вариационный ряд составляют возможные значения случайной величины: 
Соответствующие вероятности найдем, учитывая, что 
, т.е. 
:
, 
, 
, 
или
, 
, 
, 
.
Таким образом, закон распределения имеет вид:
.
Критерий правильности вычислений 
выполняется, т.е.
.
Пример: TS состоит из 500 однородных, независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого элемента в течении установленного времени равна 
. Составить закон распределения вероятностей случайной величины − число отказавших элементов за установленное время. Найти вероятность того, что за это время откажут:
1) ровно три элемента;
2) менее трех;
3) более трех;
4) хотя бы один.
Решение: Вариационный ряд составляют возможные значения случайной
величины: 
. Соответствующие вероятности найдем по формуле Пуассона, учитывая, что 
, т.е. 
:
, 
, 
, 
, … 
или
, 
, 
, 
, … 
.
Таким образом, закон распределения имеет вид:
.
Откуда непосредственно следует:
1) ; 
.
2) 
, т.е. 
или
.
3) 
, т.е. 
. 
.
Учитывая, что 
и 
,
получим 
.
4) 
, т.е. 
. 
или
.
