2015-06-24
4452Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Хабаровская государственная академия экономики и права»
Кафедра математики и математических методов в экономике
Математика
Случайные события
Варианты индивидуальных заданий
для студентов второго курса
дневного отделения всех специальностей
Хабаровск 2005
ББК В11
Х12
Математика: варианты индивидуальных заданий по теории случайных событий для студентов второго курса дневного отделения всех специальностей / сост. Н.А. Власюк, Л.А. Дойхен, М.Ф. Тиунчик. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2005. – 32 с.
Варианты предназначены для выполнения индивидуального задания или для проведения аудиторной контрольной работы по теории случайных событий. Каждый вариант состоит из шести типовых примеров.
Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики ДВГУПС Е.Н. Ломакина;
|
|
|
к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики ХГТУ Е.А. Мясников.
Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний
Власюк Нина Александровна
Дойхен Людмила Архиповна
Тиунчик Михаил Филиппович
МАТЕМАТИКА (СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ)
Варианты индивидуальных заданий для студентов второго курса дневного отделения всех специальностей
Редактор Г.С. Одинцова
Подписано в печать 2005 г. Формат 60 x 84 / 16. Бумага писчая.
Печать офсетная. Усл.п.л. 1,9 Уч.-изд.л. 1,3 Тираж 525 экз.
Заказ №
__________________________________________________________________________
680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ
© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2005
Вариант 1
1. В ящике среди 10 одинаковых по внешнему виду деталей имеется 8 стандартных. Наудачу взяты три детали. Составить полную группу возможных событий и найти их вероятности.
2. Вероятность того, что студент сдает первый экзамен, равна 0,9; второй экзамен – 0,85; третий экзамен – 0,95. Найти вероятности событий:
а) студент сдаст все три экзамена;
б) сдаст не менее двух экзаменов;
в) не сдаст только третий экзамен.
3. На склад поступают изделия трех заводов, производительности которых относятся как 1:2:1. Вероятность изготовления первосортного изделия на 1-м заводе равна 0,8; на 2-м заводе – 0,7; на 3-м – 0,9. Наудачу взятое изделие оказалось первосортным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на первом заводе.
4. Завод выпускает приборы, среди которых в среднем 98 % без дефектов. Найти вероятность того, что в партии из 200 приборов:
а) два с дефектом;
|
|
|
б) не более одного с дефектом;
в) хотя бы один с дефектом.
Найти наивероятнейшее число деталей с дефектом.
5. Контрольная работа состоит из шести задач, причем для «зачета» необходимо решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведенного времени лишь четыре задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,8. Если он попробует решать пять задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7, а если он возьмется за решение всех шести задач, то вероятность снизится до 0,6. Какой тактики должен придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы получить зачет?
6. При изготовлении облицовочной плитки 70 % изделий оказываются первосортными. Сколько надо взять плиток, чтобы с вероятностью, превышающей 0,99, можно было утверждать, что доля первосортных плиток среди них будет отличаться от вероятности 0,7 не более чем на 0,05 (по абсолютной величине)?
Вариант 2
1. В коробке 5 красных, 3 синих и 2 желтых карандаша. Наудачу взяли три карандаша. Найти вероятности событий:
а) среди выбранных карандашей – 2 красных и 1 синий;
б) эти карандаши одного цвета;
в) разных цветов.
2. Вероятность попадания стрелком в цель при выстреле равна 0,7. Стрелок стреляет до первого попадания. Чему равна вероятность того, что ему потребуется:
а) три выстрела;
б) не более трех выстрелов?
3. Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть – на втором заводе. Остальные изделия – на третьем. Первый завод производит 1 % с браком, второй – 0,7 % и третий – 0,5 %. Произвольно выбранное изделие оказалось с браком. Какова вероятность того, что оно изготовлено:
а) на первом заводе;
б) на втором заводе.
4. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключается) три партии из четырех или пять из восьми?
5. Какова вероятность того, что при 60 бросаниях игральной кости «тройка» выпадет:
а) восемь раз;
б) от 10 до 20 раз включительно?
Найти наивероятнейшее число выпадений «тройки» при 60 бросаний игральной кости.
6. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 100 изделий. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,92. Найти с вероятностью 0,9544 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.
Вариант 3
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:
а) равна пяти;
б) больше десяти.
2. В экзаменационном билете 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,95, на второй вопрос – 0,9 и на третий вопрос – 0,85. Определить вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого ему необходимо ответить хотя бы на два вопроса.
3. В классе обучаются 20 девочек и 10 мальчиков. К уроку не выполнили домашнее задание 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик оказался неподготовленным к уроку. Какова вероятность того, что отвечать был вызван мальчик?
4. На каждое из 6 заданий теста даны пять ответов, из которых один верный. Чему равна вероятность, что студент угадает ответы трех заданий? Чему равна вероятность, что студент получит «зачет», отвечая наудачу, если должны быть получены не менее четырех верных ответов?
5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 600 проверяемых изделий не выдержат испытания:
а) два изделия;
б) хотя бы одно изделие.
Найти наивероятнейшее число изделий, которые выдержат испытания.
6. Игральную кость бросают 120 раз. Найти вероятность того, что:
а) «пятерка» выпадет 20 раз;
б) «пятерка» выпадет от 10 до 30 раз.
Найти приближенно границы, в которых число появлений «пятерки» будет заключено с вероятностью 0,9973.
Вариант 4
1. На группу из 10 юношей и 14 девушек выдали 6 билетов в театр. Какова вероятность, что при случайном распределении билетов
|
|
|
а) в группе «театралов» окажется поровну юношей и девушек;
б) все билеты достанутся девушкам?
2. Имеются две урны: в первой 4 белых и 2 черных шара, во второй 6 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. Затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что шар будет белым.
3. Три орудия ведут стрельбу по цели. Вероятности попадания в цель для них соответственно равны 0,4; 0,5; 0,55. Для поражения цели достаточно двух попаданий. Орудия сделали залп по цели. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Вычислить вероятность того, что хотя бы одно оружие попадет в цель.
4. Сто монет высыпали на стол. Какова вероятность того, что 40 из них ляжет гербом вверх? Найти наивероятнейшее число монет, выпавших гербом вверх, и соответствующую ему вероятность.
5. Вероятность преждевременного перегорания электролампы составляет 0,02. Найти вероятность того, что не менее 4 из 6 ламп перегорит преждевременно. Найти вероятность того, что из 100 электроламп перегорит:
а) три лампы;
б) хотя бы одна лампа.
6. Найти границы, в которых с вероятностью 0,8611 находится относительная частота родившихся девочек из 600 новорожденных, если вероятность рождения девочки 0,485.
Вариант 5
1. Подсчитать вероятность того, что в наудачу выбранном телефонном номере, состоящем из 6 цифр, все цифры окажутся различными.
2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,7; второй – 0,75; третий – 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют:
а) какие-либо два станка;
б) хотя бы один станок.
3. Изделия изготавливаются на трех станках-автоматах. Первый производит 40 %, второй – 50 %, а третий 10 % всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 3 %, 4 %, 1 %. Случайно выбранное изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно произведено:
а) первым станком-автоматом;
|
|
|
б) вторым станком-автоматом.
4. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима:
а) одному покупателю;
б) по крайней мере одному.
5. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,9. Определить вероятность того, что из 500 изделий, взятых на проверку:
а) 460 будут первого сорта;
б) от 400 до 480 (включительно) будут первого сорта.
Найти наивероятнейшее число изделий первого сорта среди 500 изделий.
6. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты выпадения «герба» от вероятности выпадения «герба» по абсолютной величине будет меньше 0,1?
Вариант 6
1. На полке наугад расставлены 18 книг. Найти вероятность того, что:
а) три тома одного сочинения окажутся поставленными вместе в порядке номеров;
б) три тома будут поставлены вместе.
2. Вероятность отказа за время Т для первого элемента равна 0,1; для второго – 0,2; для третьего – 0,15. Найти вероятность безотказной работы цепи за время Т. Схема включения элементов цепи приведена на рисунке:
3. На сборку поступило 3 000 деталей с первого автомата и 2 000 со второго. Первый автомат дает 0,27 % брака, а второй – 0,33 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если деталь выбирается наудачу из всех деталей. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь изготовлена первым автоматом, если при проверке она оказалась стандартной.
4. Производится 6 выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что:
а) произойдет одно попадание в цель;
б) произойдет не менее пяти попаданий;
в) произойдет хотя бы одно попадание.
5. В осветительную сеть включено 1 100 новых электроламп. Вероятность того, что в течение года электролампа перегорит, равна 0,55. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины ламп придется заменить новыми. Найти наивероятнейшее число перегоревших электроламп.
6. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Найти число выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью 0,993 ожидать, что отклонение частости от вероятности 0,6 будет меньше 0,03 (по абсолютной величине).
Вариант 7
1. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:
а) все пассажиры выйдут на пятом этаже;
б) все выйдут одновременно;
в) все пассажиры выйдут на разных этажах.
2. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8; а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он:
а) попадет один раз;
б) попадет два раза;
в) попадет хотя бы один раз.
3. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. Какова вероятность того, что случайно взятый со склада болт оказался дефектным? Найти вероятность того, что болт произведен первой машиной, если установлено, что случайно взятый болт дефектный.
4. Всхожесть семян данного растения составляет 70 %. Найти вероятность того, что из десяти посеянных семян взойдут:
а) шесть;
б) не менее шести;
в) хотя бы два.
Чему равно наивероятнейшее число взошедших семян, если будет посеяно 200 семян этого растения? Найти вероятность того, что из 200 посеянных семян взойдет не менее половины.
5. Магазин в течение месяца получил от поставщика 200 телевизоров. Вероятность того, что при перевозке телевизор получит повреждение 0,01. Найти вероятность того, что поврежденных телевизоров окажется:
а) меньше двух;
б) хотя бы один.
6. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,975 отклонение относительной частоты попадания от вероятности 0,3 не превзошло 0,04 (по абсолютной величине)?
Вариант 8
1. В коробке из 25 конфет десять с ореховой начинкой. Ребенок наудачу берет три конфеты. Найти вероятность того, что:
а) они все с ореховой начинкой;
б) хотя бы одна с ореховой начинкой;
в) с ореховой начинкой среди выбранных конфет больше.
2. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. Составить полную группу возможных событий и найти их вероятности. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.
3. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй – 6 белых и 4 черных. Из наудачу выбранной урны выбирают наугад шар и перекладывают в другую урну. Шары в этой урне перемешивают и наудачу выбирают два шара. Чему равна вероятность, что эти шары белые?
4. Вероятность выигрыша по билету «Спортивная лотерея» равна 0,01. Чему равна вероятность выигрыша для владельца 10 билетов:
а) по 2 билетам;
б) хотя бы по одному билету?
5. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Что вероятнее: отказ четырех приборов при испытании 20 или отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга? Найдите вероятность, что из 50 приборов откажет не менее десяти.
6. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности его появления будет не более 0,01 (по абсолютной величине)?
Вариант 9
1. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность «взломать» сейф, если взломщик знает:
а) первые три цифры кода;
б) что все цифры кода различные.
2. Вероятность отказа за время Т первого элемента равна 0,4; для второго – 0,2; для третьего – 0,1. Найти вероятности безотказной работы цепи за время Т. Схема включения элементов цепи приведена на рисунке:
Как переставить элементы, чтобы увеличить вероятность безотказной работы цепи?
3. Вероятность, что безработный найдет работу, обратившись в службу занятости, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 12 человек, обратившихся за день, работу найдут пять. Чему равна вероятность того, что из 320, обратившихся за месяц, работу получат от 100 до 200?
4. При исследовании больного имеется подозрение на одно из трех заболеваний: А1, А2, А3. Их вероятности (по мнению врача) соответственно равны: 
. Для уточнения диагноза назначен анализ, дающий положительный результат с вероятностью 0,1 в случае заболевания А1, с вероятностью 0,2 в случае заболевания А2 и с вероятностью 0,9 в случае заболевания А3. Анализ был произведен пять раз и дал четыре раза положительный результат и один раз отрицательный. Требуется найти вероятность каждого заболевания после анализа.
5. Вероятность несчастного случая за год равна 0,0003 для жителя. Застраховано 10 000 человек. Общий фонд страхования равен 1 000 000 руб. Страховая выплата равна 200 000 руб. Какова вероятность «разорения» фирмы?
6. Монета подбрасывается 200 раз. Найти вероятность того, что относительная частота появления «герба» отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Вариант 10
1. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Пять команд обычно занимают первые места. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех – в другую?
2. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
3. Имеется 30 билетов, из которых данный студент знает 25. У студента есть две возможности: взять билет первым или, уступив очередь, вторым. В каком случае вероятность успешной сдачи выше?
4. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2 может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 – шатеном, с вероятностью 0,4 – блондином и с вероятностью 0,1 – рыжим. Найти вероятность того, что среди шести случайно встреченных лиц:
а) не менее 4 блондинов;
б) хотя бы один рыжий;
в) 3 блондина и 3 шатена.
5. Среди 1 000 человек приблизительно 8 левшей. Найти вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек:
а) будет хотя бы один левша;
б) не окажется ни одного левши;
в) левшей будет от одного до трех.
6. Вероятность того, что студент воспользуется услугами банкомата, равна 0,1. Оценить, что услугами банкомата воспользуются от 15 до 25 человек из 200 студентов. Найти вероятность того, что отклонение числа студентов, которые воспользуются банкоматом, от наивероятнейшего числа не превзойдет трех.
Вариант 11
1. В библиотеке среди двухсот сорока книг – 20 книг по теории вероятностей. Наугад выбрали 5 книг. Найти вероятности следующих событий:
а) в выборке нет ни одной книги по теории вероятностей;
б) в выборке будут две книги по теории вероятностей;
в) хотя бы одна книга по теории вероятностей.
2. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,4; для второго и третьего станков эти вероятности соответственно равны 0,3 и 0,5. Вычислить вероятности следующих событий:
а) в течение часа только один станок потребует внимания рабочего;
б) хотя бы один станок потребует внимания.
3. На предприятии имеются однотипные приборы, изготовленные на двух заводах. При этом число приборов, полученных от первого завода, составило 70 %, а от второго – 30 %. Известно, что первый завод выпускает 90 % приборов, могущих прослужить установленный срок, а второй – 95 %. Взятый наугад прибор прослужил установленный срок. Найти вероятность того, что этот прибор был получен от второго завода.
4. Сколько раз надо подбросить монету, чтобы наивероятнейшее число выпадений герба было равно 32?
5. В определенной возрастной группе населения 3 % больных гипертонией. Какова вероятность того, что из 200 человек данного возраста будет:
а) 2 больных гипертонией;
б) не менее двух больных гипертонией?
6. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,9. Определить вероятность того, что при 500 выстрелах отклонение относительной частоты попадания от вероятности попадания в одном выстреле будет отличаться по абсолютной величине не более чем на 0,01.
Вариант 12
1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что абсолютная величина разности выпавших очков равна 2?
2. Покупатель приобрел пылесос и полотер. Вероятность того, что пылесос не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равна 0,95. Для полотера такая вероятность равна 0,94. Найти вероятности следующих событий:
а) оба прибора выдержат гарантийный срок;
б) ни один не выдержит гарантийный срок;
в) хотя бы один прибор выдержит гарантийный срок.
3. На сборочный конвейер поступают детали с четырех автоматических станков. Первый станок дает 0,5 % брака, второй – 0,4 % брака, третий – 0,7 %, четвертый – 0,6 %. С первого станка на конвейер поступило 1 200 деталей, со второго – 1 500, с третьего – 2 000, с четвертого – 1 300. Вычислить вероятность попадания на конвейер бракованной детали.
4. Вероятность попадания в цель стрелка при одном выстреле равна 0,7. Определить наивероятнейшее число попаданий и соответствующую ему вероятность, если произведено 9 выстрелов.
5. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии в течение некоторого периода t равна 0,01. На факультете учатся 1 500 студентов. Требуется:
а) найти вероятность того, что за период эпидемии заболеет 5 студентов;
б) определить наиболее вероятное число заболевших и его вероятность;
в) найти вероятность того, что заболеет хотя бы один студент.
6. В среднем 80 % саженцев яблони приживались при посадке. Определить вероятность того, что при 400 посаженных, отклонение относительной частоты приживания саженца от вероятности приживания отдельного саженца будет отличаться по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Вариант 13
1. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет:
а) одинаковое число очков на обеих костях;
б) сумма выпавших очков будет больше 10.
2. Первый стрелок поражал цель в 80 % случаев, а второй – в 60 %. Каждый стрелок сделал по одному выстрелу. Вычислить вероятности следующих событий:
а) в цель попадут оба стрелка;
б) в цель попадет только один стрелок;
в) попадет хотя бы один стрелок.
3. Винты изготавливаются на двух станках. Вероятность брака первого станка равна 0,04, для второго – 0,02. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго. Готовые винты складываются в один ящик. Определить вероятность того, что наудачу взятый винт будет без дефекта.
Чему равна вероятность того, что винт изготовлен на первом заводе, если известно, что он без дефекта?
4. Вероятность выигрыша по отдельному билету лотереи равна 0,2. Какова вероятность, имея шесть билетов, выиграть:
а) по двум билетам;
б) хотя бы по одному?
5. Доля изделий высшего сорта продукции данной фабрики составляет 90 %. В продажу поступила партия из 900 изделий. Найти вероятности следующих событий:
а) в данной партии окажется 600 изделий высшего сорта;
б) не более 600 изделий высшего сорта.
6. Вероятность приживания каждого из 400 посаженных деревьев равна 0,8. Определить вероятность того, что число прижившихся деревьев будет по абсолютной величине отличаться от наивероятнейшего их числа не более чем на 30.
Вариант 14
1. Из колоды в 36 карт наугад выбираются четыре карты. Найти вероятности следующих событий:
а) в выборке не будет ни одного туза;
б) в выборке окажется хотя бы один туз;
в) только один туз.
2. Акционер имеет по одной акции трех различных видов. Первый вид акций приносил прибыль акционерам в среднем в 70 % случаев, а два других вида, соответственно, в 50 % и 60 % случаев. Вычислить вероятности следующих событий:
а) только один вид акций даст прибыль;
б) хотя бы один вид акций даст прибыль акционеру.
3. В обследуемой группе мужчин некоторого возраста 30 % курящих и 70 % некурящих. В среднем 20 % курящих мужчин этого возраста имеют заболевания легких, у некурящих – 5 %. У обследуемого мужчины оказалось заболевание легких. Найти вероятности следующих событий:
а) обследуемый мужчина был курящим;
б) пациент был некурящим.
4. Предполагая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, найти вероятность того, что в семье, имеющей шесть детей, не менее двух девочек.
5. Всхожесть семян данной культуры составляет 90 %. Будет посеяно 500 семян. Вычислить вероятности следующих событий:
а) в данной партии не взойдет 40 семян;
б) взойдет не менее 300 семян.
6. Вероятность попадания данного стрелка в мишень в отдельном выстреле равна 0,3. Сколько нужно ему произвести выстрелов, чтобы гарантировать с вероятностью 0,996, что отклонение относительной частоты попаданий от вероятности 0,3 не превысит по абсолютной величине 0,04?
Вариант 15
1. Четырехтомное собрание сочинений расставлялось на книжную полку в случайном порядке. Найти вероятность того, что все тома будут стоять в порядке возрастания номеров слева направо.
2. Три фермера независимо возвращают банку кредит. Вероятности своевременного возвращения ими кредитов таковы: 0,8; 0,7; 0,6. Вычислить вероятности следующих событий:
а) все три фермера своевременно возвратят кредит;
б) только один фермер своевременно возвратит кредит;
в) хотя бы один своевременно возвратит кредит.
3. Магазин медтехники приобрел 70 % однотипных приборов одного завода и 30 % – другого. Известно, что первый завод выпускает 90 % приборов, могущих прослужить определенный срок, а второй – 95 %. Найти вероятность того, что наугад приобретенный прибор прослужит заданный срок.
4. Приживаемость саженцев кедра составляет 90 %. Вычислить вероятности следующих событий:
а) при четырех посаженных приживется только один;
б) хотя бы один из четырех.
5. Вероятность того, что отдельный счет, обработанный данным бухгалтером, содержит ошибку, равна 0,01. Найти вероятность того, что в подготовленных 150 счетах будет не более двух с ошибкой. Найти наивероятнейшее число счетов с ошибками среди подготовленных.
6. Стрелок в среднем поражал цель в 70 % случаев. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах отклонение частоты попаданий от наивероятнейшей частоты будет по абсолютной величине отличаться не более чем на 20.
Вариант 16
1. В группе из 24 студентов 8 отличников. Для проверки знаний по математике случайно выбрали 6 студентов. Вычислить вероятности следующих событий:
а) в выборку попадут 6 отличников;
б) в выборке не будет ни одного отличника;
в) хотя бы один отличник.
2. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Первый стрелок поражал цель в 80 % случаев, а второй – в 70 %. Найти вероятности следующих событий:
а) в цель не попадет ни один стрелок;
б) в цель попадет только один стрелок;
в) попадет хотя бы один.
3. Три мастера изготавливают однотипные приборы, при этом первый делает в день половину всей работы, а два других выполняют оставшуюся часть в равной доле. Первый мастер дает 2 % брака, второй – 1,5 %, третий – 1 %. Взятый случайно контролером на проверку прибор оказался с браком. Каким вероятнее мастером он изготовлен?
4. Всхожесть семян некоторой культуры составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5? Чему равна вероятность, что из 100 посеянных семян взойдет более 80?
5. Вероятность нарушения герметичности консервной банки равна 0,0004. Найти вероятность того, что из 5 000 банок герметичность нарушится не меньше чем в двух банках.
6. Товаровед книжного магазина осматривает к продаже 900 учебников. В среднем 95 % учебников годны к продаже. Найти наивероятнейшее число годных к продаже в этой партии и вероятность того, что число годных отклонится по абсолютной величине от наивероятнейшего числа не более чем на 15 учебников.
Вариант 17
1. На группу из 10 юношей и 15 девушек выделили 8 билетов в театр. Какова вероятность, что при случайном распределении билетов в группе «театралов» окажется поровну юношей и девушек?
2. Три охотника выстрелили в гуся. Вероятности их попаданий таковы: 0,7; 0,8; 0,6. Найти вероятности событий:
а) гусь уцелеет;
б) в него попадет только один охотник;
в) попадет хотя бы один охотник.
3. Два рабочих производят однотипные детали, при этом производительность первого в два раза больше, чем у второго. У первого рабочего получается в среднем 2 % брака, у второго – 1 %. Контролер обнаружил бракованную деталь. Каким вероятнее рабочим она изготовлена?
4. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,6. Найти наивероятнейшее число поступивших заявок на снабжение в данный день и его вероятность.
5. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 1 000 новорожденных будет:
а) 480 девочек;
б) девочек больше половины.
6. Оценить, сколько нужно проверить изделий, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годности изделия от вероятности 0,9 изделия быть годным не превысила 0,01.
Вариант 18
1. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в две группы по 10 человек. Определить вероятность того, что два наиболее сильных игрока будут играть в разных группах.
2. Вероятности сдачи экзамена по математике для трех данных студентов таковы: 0,9; 0,85; 0,8. Найти вероятности следующих событий:
а) только один из этих студентов сдаст экзамен;
б) не сдаст ни один;
в) хотя бы один студент сдаст экзамен.
3. В обследуемой группе мужчин некоторого возраста 60 % курящих, а остальные – некурящие. В среднем 30 % курящих этого возраста имеют заболевания легких, у некурящих – 5 %. Вычислить вероятность того, что случайно обследуемый мужчина этого возраста имеет заболевание легких.
4. В цехе работает 120 рабочих, при этом 75 % из них перевыполняют месячный план. Найти наивероятнейшее число перевыполняющих месячный план рабочих и соответствующую ему вероятность.
5. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,04. Вычислить вероятность того, что в течение гарантийного срока из 200 телевизоров:
а) не более одного потребуют ремонта;
б) хотя бы один телевизор потребует ремонта.
6. С конвейера сходит в среднем 80 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,996 гарантировать, что по абсолютной величине отклонение относительной частоты от вероятности изделия первого сорта не превысит 0,01?
Вариант 19
1. Группа из десяти мужчин и десяти женщин делится случайно на две равные части. Какова вероятность того, что в каждой из частей мужчин и женщин будет поровну?
2. Два спортсмена выполняют норму мастера спорта. Вероятность выполнения нормы для первого спортсмена равна 0,8, а для второго – 0,7. Найти вероятности следующих событий:
а) норму выполнит только один какой-нибудь спортсмен;
б) не выполнит ни один;
в) выполнит хотя бы один спортсмен.
3. В первой урне имеется 10 белых и 5 красных шаров, во второй – 8 белых и 10 красных, в третьей – 6 белых и 6 красных. Выбирающий наугад подошел к одной из урн и наугад взял один шар. Вычислить вероятность того, что этот шар оказался красным.
4. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три из шести?
5. Всхожесть семян данной культуры характеризуется вероятностью 0,8. Для контроля всхожести посеяли 500 семян. Найти вероятности следующих событий:
а) взойдет не более половины посеянных;
б) взойдет не менее 400.
Найти наивероятнейшее число взошедших семян среди 500 посеянных.
6. Оценить вероятность того, что в партии из 10 000 подшипников отклонение относительной частоты брака от вероятности подшипнику быть бракованным, равной 0,01, не превысит по абсолютной величине 0,03.
Вариант 20
1. Колоду из 36 карт наугад разделили на две равные части. Какова вероятность того, что в каждой из частей будет поровну карт черных и красных мастей?
2. В среднем 80 % саженцев яблони и 90 % саженцев груш приживались при посадке. На садовом участке будет посажено по одному саженцу каждой культуры. Найти вероятности следующих событий:
а) приживется только один из саженцев;
б) приживутся оба;
в) приживется хотя бы один саженец.
3. Три мальчика с одинаковыми корзинами собирали в лесу грибы. Первый нашел 5 белых и 10 подосиновиков, второй – 8 белых и 10 подосиновиков, третий – 6 белых и 8 подосиновиков. При встрече они составили корзины вместе. Через некоторое время первый мальчик случайно взял с одной из корзин белый гриб. Какова вероятность того, что он взял этот гриб со своей корзины?
4. Жюри состоит из пяти членов, каждый из которых выносит верное решение с вероятностью 0,9. Вычислить вероятность, что жюри вынесет верное решение, если оно принимается большинством членов.
5. Вероятность нарушения герметичности консервной банки равна 0,0004. Найти вероятность того, что из 5 000 банок герметичность нарушится:
а) у двух банок;
б) не меньше чем у двух банок.
6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,6. Оценить вероятность того, что при 600 выстрелах число попаданий в мишень будет по абсолютной величине отличаться от наивероятнейшего числа попаданий не более чем на 25.
Вариант 21
1. В группе 25 студентов, среди которых 6 отличников. Для контроля за самостоятельной работой случайным образом вызвано 8 студентов. Найти вероятность того, что среди вызванных будет:
а) два отличника;
б) ни одного отличника;
в) хотя бы один отличник.
2. Два студента при сдаче зачета получили по две задачи. Первый студент решает верно каждую из полученных задач с вероятностью 0,9, а второй – с вероятностью 0,8. Для получения зачета необходимо верно решить обе задачи. Какова вероятность, что:
а) оба студента получат зачет;
б) хотя бы один студент получит зачет?
3. Три бухгалтера обрабатывают одинаковое количество счетов за рабочий день. Вероятности допустить ошибку первым, вторым и третьим бухгалтером равны 0,05; 0,02 и 0.01 соответственно. При проверке одного из счетов была обнаружена ошибка. Какова вероятность, что его обрабатывал первый бухгалтер?
4. Оптовая база снабжает 10 магазинов. Вероятность поступления заявки от каждого из этих магазинов на очередной день равна 0,4. Найти:
а) наивероятнейшее число заявок;
б) вероятность того, что число заявок будет равно наивероятнейшему числу;
в) вероятность того, что число заявок будет менее наивероятнейшего числа.
5. Приживаемость саженца данной породы равна 90 %. Найти вероятность, что из 400 саженцев приживется:
а) 350 саженцев;
б) не менее 350 саженцев.
6. Кооператив выпускает 80 % облицовочной плитки высшим сортом. Определить вероятность того, что среди 10 000 изготовленных плиток число плиток высшего сорта будет отличаться от наивероятнейшего числа не более чем на 200.
Вариант 22
1. В группе из 26 студентов имеются две сестры. Какова вероятность, что при случайном делении группы на две части сестры попадут в одну часть?
2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность, что сумма выпавших очков равна:
а) четырем очкам;
б) не меньше одиннадцати.
3. Предприятие по сборке телеаппаратуры имеет две линии, причем производительность первой линии в два раза меньше производительности второй. Известно, что первая линия в среднем дает 1,5 % изделий, имеющих производственные дефекты, а вторая линия – 2 %. Найти вероятности того, что:
а) приобретенный телевизор данного предприятия не будет иметь производственных дефектов;
б) телевизор был изготовлен на первой линии, если оказалось, что он имеет производственный дефект.
4. На участке леса, где промышляет охотник, 90 % обитающих лис имеет рыжий окрас и 10 % – черно-бурый. Найти вероятность, что среди добытых охотником 8 лисьих шкурок:
а) 2 черно-бурых;
б) не более 2 черно-бурых;
в) хотя бы одна черно-бурая.
5. Электростанция обслуживает сеть с 16 000 лампочек, каждая из которых может быть включена в определенный период времени с вероятностью 0,6. Вычислить вероятность, что за этот период времени будет включено:
а) количество лампочек, равное наивероятнейшему числу включенных;
б) не менее 9 000 лампочек.
6. Приживаемость саженца данной породы равна 40 %. Найти вероятность, что из 400 посаженных саженцев количество прижившихся отклонится от наивероятнейшего числа прижившихся не более чем на 10 штук (по абсолютной величине).
Вариант 23
1. На одиннадцати одинаковых карточках написаны числа: 2, 2, 4, 6, 5, 7, 8, 11, 12, 12, 13. Случайным образом берутся две карточки. Какова вероятность, что составленная из написанных на них числах дробь:
а) сократима;
б) равна единице?
2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого орудия равна 0,8, а для второго – 0,6. Оба орудия сделали по два выстрела. Найти вероятности следующих событий:
а) ровно два снаряда попали в цель;
б) хотя бы один снаряд попал в цель.
3. Студент добирается на занятия в половине случаев на автобусе, а в половине случаев на троллейбусе. Вероятность опоздания в первом случае равна 0,05, а во втором – 0,09. Найти вероятность, что сегодня студент добирался на автобусе, если он сегодня опоздал.
4. В автомат для продажи шариков жевательной резинки заправили шарики красного и синего цвета в отношении 3:7. Девочка покупает 6 шариков. Она не хочет, чтобы все шарики были одного цвета. Считая вероятности получения шарика каждого цвета постоянными, найти вероятность того, что:
а) не все шарики будут одного цвета;
б) красных и синих ей достанется поровну.
5. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,02. Какова вероятность, что за это время из ста конденсаторов выйдут из строя:
а) три конденсатора;
б) не более трех конденсаторов;
в) хотя бы один конденсатор?
6. Отдел технического контроля проверяет 800 изделий на брак. Вероятность того, что отдельное изделие окажется бракованным, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,9545 точность абсолютной величины отклонения относительной частоты появления бракованного изделия от его вероятности.
Вариант 24
1. Из колоды карт в 36 листов достали случайным образом 4 карты. Найти вероятность, что среди вынутых карт:
а) есть один туз;
б) есть пиковый туз;
в) есть все масти.
2. Деталь проходит при обработке четыре операции. Вероятности испортить деталь при этих операциях соответственно равны 0,1; 0,05; 0,1 и 0,01. Чему равна вероятность получения не бракованной детали?
3. В группе в 30 человек имеется четыре человека, которые в десяти случаях из десяти верно решают задачи, предлагаемые на практических занятиях; одиннадцать человек это делают в восьми случаях из десяти; десять человек в шести случаях; остальные пять – в трех случаях из десяти. На занятии наудачу вызванный студент верно решил задачу. Найти вероятность, что это был студент:
а) принадлежащий к первой из перечисленных групп;
б) последней из перечисленных групп.
4. В среднем 90 % из числа взявших кредит возвращают его в срок договора. Восемь человек 1 июля взяли кредит. Чему равна вероятность, что из них в срок расплатятся:
а) шесть человек;
б) хотя бы один?
5. Вероятность допущения ошибки при обработке счета бухгалтером равна 0,01. Какова вероятность, что при обработке двухсот счетов количество счетов, содержащих ошибку, окажется не более одного?
6. Всхожесть семян данной культуры составляет 80 %. Оценить вероятность того, что относительная частота проросших семян среди посеянных для контроля всхожести отклонится от вероятности всхожести не более чем на 0,01 (по абсолютной величине), если было посеяно:
а) 100 семян;
б) 900 семян.
Вариант 25
1. Какова вероятность при игре в спортлото «6 из 49» отгадать:
а) четыре номера;
б) все шесть номеров?
2. В двух урнах находится по 4 красных и 6 синих шаров. Из каждой урны вынули по два шара. Найти вероятности следующих событий:
а) все вынутые шары одного цвета;
б) есть хотя бы один синий.
3. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.
4. График работ состоит из семи частей, каждая из которых может быть выполнена без нарушения своего срока выполнения с вероятностью 0,8 независимо от того, нарушались ли сроки выполнения других частей. Найти вероятность, что при выполнении работ срок будет нарушен:
а) для трех частей графика;
б) хотя бы для одной части графика.
5. В среднем 40 % студентов сдают сессию на «хорошо» и «отлично». Найти вероятность, что на потоке из 100 студентов сдадут сессию на «хорошо» и «отлично»:
а) 45 студентов;
б) не менее 40 студентов.
6. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,02. Найти с вероятностью 0,979 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.
Вариант 26
1. В ящике находится 8 синих, 5 красных и 4 белых шара. Из ящика достали случайным образом 3 шара. Найти вероятность, что:
а) все вынутые шары одного цвета;
б) среди вынутых есть хотя бы один белый шар.
2. Если при проверке механических часов оказывается, что точность хода недостаточна, то производится регулировка с последующей проверкой. В среднем 60% часов, сошедших с конвейера, нуждаются в дополнительной регулировке, а из всех часов, прошедших хотя бы одну дополнительную регулировку, 20% нужно регулировать заново. Часы, точность которых недостаточна после трех проведенных регулировок, отправляются в брак. С конвейера наудачу сняли часы. Найти вероятности событий:
а) они будут подвергнуты одной регулировке;
б) будут отправлены в брак.
3.Курс разбит на три темы. При подготовке к экзамену студент выучил 90 % вопросов по первой теме, 80 % вопросов по второй теме и лишь 40 % вопросов по третьей теме. На экзамене он получил два вопроса по случайно выбранным преподавателем двум темам из трех. Вопросы также выбирались случайным образом. Какова вероятность, что студент знает оба вопроса?
4. На бахче к началу уборки урожая 40 % арбузов некоторого сорта имеет вес более 3 килограммов. Найти вероятность, что среди восьми наудачу взятых арбузов более трех килограммов будут весить:
а) пять арбузов;
б) не менее шести арбузов.
5. На ферме по разведению лисиц было замечено, что в семье черно-бурых лисиц рождается в среднем 2 % платиновых. Какова вероятность, что среди 400 лисят, рожденных в семьях черно-бурых лисиц, количество платиновых будет:
а) равно 6;
б) не менее 4?
6. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,905 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления герба от его вероятности в отдельном бросании не превысит 0,02?
Вариант 27
1. Количество участников соревнований по фигурному катанию равно 14. Среди участников выступают три сестры. Какова вероятность, что при жеребьевке номеров окажется, что сестры выступают друг за другом?
2. Вероятности принесения прибыли за фиксированный период времени каждым из трех филиалов предприятия независимы и соответственно равны: 0,8; 0,9 и 0,6. Найти вероятности событий:
а) все филиалы принесут прибыль;
б) один филиал принесет прибыль;
в) хотя бы один филиал принесет прибыль.
3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
4. После сборки 30 % механических часов нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность, что из взятых наудачу восьми сошедших с конвейера часов количество не требующих дополнительной регулировки:
а) равно шести;
б) не менее шести?
5. В среднем 80 % из числа берущих кредит возвращают его в срок. Найти вероятность, что из 100 клиентов банка, взявших кредит, число клиентов, вернувших кредит в срок окажется:
а) равным 85;
б) не меньшим 90.
6. При расфасовке стирального порошка в 10 % пачках вес порошка отклоняется от нормы более, чем на 10 граммов. Найти вероятность того, что в партии из 1 000 пачек относительная частота пачек с таким отклонением от нормального веса будет отличаться от вероятности такого отклонения менее чем на 0,05 (по абсолютной величине).
Вариант 28
1. Из колоды карт в 36 листов случайным образом вынули 6 карт. Найти вероятности следующих событий:
а) все вынутые карты пиковой масти;
б) среди вынутых нет ни одного короля;
в) есть один король и есть туз трефовой масти.
2. Какова вероятность, что ни у кого из четырех членов семьи дни рождения не совпадают? (Считать, что никто не родился в високосный год).
3. Вероятности принесения прибыли за фиксированный период времени каждым из трех филиалов предприятия независимы и соответственно равны: 0,8; 0,9 и 0,6. Если все филиалы принесут прибыль, то вероятность того, что банк даст кредит этому предприятию равна 0,95; для случаев, когда два филиала, один филиал и ноль филиалов дадут прибыль, вероятности получения кредита будут иметь значения 0,8; 0,7 и 0,2 соответственно. Чему равна вероятность, что по истечении рассматриваемого периода времени банк даст кредит этому предприятию?
4. Партия арбузов содержит 20 % зеленых арбузов или перезревших. Найти вероятности, что количество арбузов хорошей спелости среди 9 наудачу купленных будет:
а) равно наивероятнейшему числу;
б) равно пяти;
в) не менее пяти.
5. Школа принимает в первый класс 200 детей. Считая вероятность для каждого принимаемого ребенка быть мальчиком равной 0,51, вычислить вероятность того, что:
а) количество мальчиков среди принятых окажется равным 100;
б) количество мальчиков среди принятых окажется не меньшим 110.
6. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления одного очка от его вероятности в отдельном бросании не превысит 0,02?
Вариант 29
1. Среди 12 механических часов 5 нуждаются в дополнительной регулировке. Часовой мастер берет наудачу шесть часов. Найти вероятность, что из них:
а) трое часов нуждаются в дополнительной регулировке;
б) ни одни не нуждаются в дополнительной регулировке;
в) хотя бы одни нуждаются в дополнительной регулировке.
2. Колоду карт в 36 листов раскладывают в ряд. Какова вероятность, что первая карта бубновой масти будет лежать в ряду пятой по счету?
3. В течение семестра каждый студент должен написать две контрольные работы. Вероятности допущения студента к досрочной сдаче экзамена при наличии двух, одной и ни одной отличных оценок за текущие контрольные работы равны 0,9; 0,7 и 0,3 соответственно. Вероятности написания студентом Петровым контрольных на «отлично» равны 0,8 для первой работы и 0,9 второй работы. Найти вероятность, что студент Петров будет допущен к досрочной сдаче экзамена.
4. Среди студентов, принятых в высшее учебное заведение, иногородние в среднем составляют 20%. Чему равна вероятность, что среди десяти студентов группы количество иногородних:
а) будет равно шести;
б) не менее пяти?
5. Световое табло содержит 400 лампочек. Вероятность перегореть за промежуток времени Т для каждой лампочки равна 0,005. Определить вероятность, что табло будет полностью исправно в течение указанного периода Т.
6. В среднем 90 % заемщиков возвращают кредит в срок. Банк предоставил кредит 400 клиентам. Найти вероятность, что относительная частота вернувших кредит в срок отклонится по абсолютной величине от вероятности возвращения кредита в срок не более чем на 0,05.
Вариант 30
1. В группе из 25 человек случайным образом выбирается бригада в составе 7 человек, после чего в бригаде случайным образом выбирается бригадир. Чему равна вероятность, что студент Петров окажется рядовым членом бригады, а студент Сидоров в ней будет бригадиром?
2. Трасса авторалли имеет два участка. В авторалли принимают участие две российские машины. Первая машина проходит первый участок трассы с вероятностью 0,9, а второй – с вероятностью 0,7. Для второй машины эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,5. Найти вероятности того, что:
а) обе машины преодолеют трассу;
б) только одна преодолеет трассу;
в) хотя бы одна машина преодолеет трассу.
3. В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Зимнюю сессию сдали на «отлично» 4 девушки и 2 юноши. Деканат наудачу выбирает студента группы. Он оказался «отличником». Найти вероятность, что этот студент является юношей.
4. Вероятность повреждения единицы товара при перевозке равна 0,1. Найти вероятность, что при перевозке 8 единиц товара:
а) будет повреждено 3 единицы товара;
б) не менее 2 единиц;
в) хотя бы одна единица.
5. В среднем 96 % заемщиков возвращают кредит. Банк предоставил заем 150 клиентам. Чему равна вероятность, что число не вернувших кредит окажется:
а) равным 8;
б) не меньшим 4?
6. Событие А происходит при каждом из независимых испытаний с вероятностью 0,7. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью, равной 0,95, можно было ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01?
