2015-06-26
324
Подставим данные точки в формулу (17): 
Преобразуем полученное выражение. 
.
4. Степенная функция 
, z ≥ 2.
– аналитическая функция на всей плоскости Гаусса: 
кроме z = 0. Следовательно, отображение, задаваемое функцией конформно всюду, кроме начала координат.
Запишем комплексное число z тригонометрической форме 
. Тогда 
(формула Муавра).
Рассмотрим луч z = At, где 
выходящий из начала координат на плоскости (z) под углом 
(
) к оси (Оx). Следовательно, образом этого луча на плоскости (
) будет луч 
, выходящий из начала координат под углом 
к оси 
; 
.
Если луч z = At будет двигаться против часовой стрелки вокруг т. О по плоскости (z), то луч будет двигаться с угловой скоростью в n раз большей по плоскости (). Следовательно, когда луч z = At пройдет угловой сектор 
, луч пройдет всю плоскость (): 
(рис. 27).
Вывод: сектор раствором 
плоскости (z) конформно отображается на всю плоскость ().
Точки плоскости (z), не лежащие внутри сектора, будут отображаться в точки плоскости (), уже занятые отображениями точек рассматриваемого сектора, но тогда нарушится взаимная однозначность отображения. Чтобы такого не происходило, Риман предложил, что эти точки будут отображаться на новую плоскость (
, лежащую над плоскостью (), т.е. Риман предложил рассматривать n – слойную поверхность для данного отображения: луч от оси обходит первый слой поверхности, переходит на второй и т.д., а пройдя все n слоев, переходит на первый. (Это можно рассмотреть лишь в абстракции).
|
|
|
Определение 41. Функцию, осуществляющую такое отображение, называют многозначной, а n – слойную поверхность – римановой. Примеры многозначных функций: 
Ln 
.
Определение 42. Однозначная функция 
, аналитическая в области 
, называется однозначной ветвью многозначной функции , если для любой точки 
значения 
, принадлежат множеству значений 
функции в точке 
.
Определение 43. Точка z комплексной плоскости, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой ветвления рассматриваемой многозначной функции.
В приведенном выше примере точками, общими для всех слоев, или точками ветвления римановой поверхности являются 
.
Геометрический смысл отображения: лучи, выходящие из начала координат, отображаются в лучи; окружность с центром в начале координат О и радиусом R отображается в спираль (проекцией которой на основную плоскость () является окружность радиуса 
), переходящую постепенно из одного листа поверхности Римана в следующий и из верхнего вновь переходящую в нижний.
Пример 33. Найти образы семейства прямых, параллельных оси (Оу) z = C + it при отображении 
. С – постоянная, t – переменный действительный параметр.
|
|
|
