Решение

Имеем . Отсюда , . Подставим данные выражения в уравнение окружности и получим . Следовательно, искомым отображением является окружность с радиусом 2 и с центром в точке (1, 0).

2. Простейшая дробно-линейная функция .

– аналитическая функция, т.к. выполняются условия КРЭДа. ни при каком конечном z (лишь при ). Следовательно, производная существует всюду, кроме z = 0.

Отображение, реализуемое функцией, конформно всюду на , кроме точки z = 0 и бесконечно удаленной точки . Если положить , то отображение будет конформно во всей плоскости . При этом угол между прямыми в точке О отображается на такой же угол в бесконечно удаленной точке .

Геометрический смысл отображения.

Пусть , тогда его образ можно найти по формуле Муавра , т.е. . Видно, что 1) , а , 2) , а (рис. 23). Отсюда можно сделать вывод: отображение может быть представлено в виде двух составляющих: 1) и 2) . Разберем подробнее каждую составляющую.

1) Окружность радиуса r отображается с помощью функции в окружность радиуса , т.е., если точка z лежит внутри единичной окружности на плоскости (Oxy), то ее образ, точка , лежит вне единичной окружности на плоскости (Ouv). Все точки окружности отображаются в себя, т.е. остаются на месте; концентрические окружности радиуса < r переходят в окружность радиуса > r и обратно. Точки 0 и переходят друг в друга.

Определение 39. Преобразование, переводящее внутренность единичного круга во внешность и наоборот, называется инверсией.

То есть инверсия – зеркальное отображение плоскости z относительно окружности.

Свойство инверсии: при инверсии все окружности, а также прямые преобразуются в окружности или в прямые, причем окружность, равно как и прямая, может преобразоваться либо в окружность, либо в прямую. Вообще говоря, инверсия представляет собой антиконформное отображение.

Из отображения следует, что , . Поскольку , то (*).

Определение 40. Точка называется симметричной точке относительно окружности , если данные точки лежат на одном луче и ∙ = (рис. 24). Точки называются симметричными относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат, если они расположены на одном луче, а произведение длин их радиус-векторов равно единице.

Следовательно, из определения 40 и из (*) следует, что функция отображает любую точку, лежащую внутри единичного круга в симметричную ей точку относительного данной окружности, лежащую вне единичного круга и обратно, т.е – инверсия относительно единичной окружности.

2) Вторая составляющая отображения – , т.е., как было показано выше, , а , геометрически означает симметрию относительно действительной оси.

Построение образа точки.

Построим окружность с центром в точке О единичного радиуса (рис. 25). Возьмем внутри окружности точку z. Через точки О и z проведем луч (b) и перпендикулярную ему прямую (а). Через точку пересечения прямой (а) и окружности построим касательную к окружности до пересечения с лучом (b). Это точка . Построим симметричную ей точку относительно оси (Ох). Эта точка и есть образ точки z при отображении .

Вывод: при отображении, реализуемом функцией , происходит инверсия: внутренность единичного круга отображается в его внешность и наоборот, при одновременном симметрическом отображении относительно оси (Ох).

Замечание 1. При отображении окружности и прямые, не проходящие через точку z = 0, отображаются в окружности, а окружности и прямые, проходящие через эту точку, – в прямые. Прямая считается окружностью бесконечного радиуса.

Замечание 2. Обратной к простейшей дробно-линейной функции будет функция , причем сопряженная функция имеет вид

Замечание 3. Если бы аргумент не менялся, т.е. , то при отображении прообраз переходил бы в образ, а образ – в прообраз, т.е. рассматриваемое отображение плоскости в себя само себе обратно. Такие отображения называются инволюциями.

Замечание 4. В некоторых задачах для нахождения образа данной линии при отображении удобно пользоваться следующим правилом: 1) выразить z из , т.е , 2) найти , 3) подставить и в уравнение линии.