Системы счисления. Изучение систем счисления

Системы счисления

г. Могилев 2011

Изучение систем счисления. Методические указания по лабораторной работе №5 по дисциплине «Информатика». Для студентов очной формы обучения специальности 140607 «Электрооборудование автомобилей и тракторов».

Лабораторная работа разработана доцентом кафедры «Электопривод и АПУ»

К.В. Овсянниковым

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Содержание

Системы счисления............................................................................................................................. 1

1 Цель работы...................................................................................................................................... 4

2 Ход работы........................................................................................................................................ 5

2.1 Получение индивидуального задания.................................................................................... 5

2.2 Оформление отчета................................................................................................................... 5

3 Содержание отчета........................................................................................................................... 6

4 Краткие теоретические сведения................................................................................................... 7

4.1 Системы счисления................................................................................................................... 7

4.2 Единицы измерения количества информации.................................................................... 13

4.3 Представление числовой информации................................................................................. 13

5. Задания........................................................................................................................................... 15

4 Контрольные вопросы................................................................................................................... 19

5 Темы для рефератов....................................................................................................................... 20

Литература......................................................................................................................................... 21

Цель работы

Целью лабораторной работы является:

1) изучение среды систем счисления;

2) получение практических навыков по работе с различными системами счисления.

Ход работы

Получение индивидуального задания

Вначале следует получить индивидуальное задание у преподавателя, проводящего лабораторную работу. Варианты заданий приводятся в разделе 5.

Оформление отчета

Отчет оформляется индивидуально каждым студентом..

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе выполняется на листах формата А4. В состав отчета входят:

1) титульный лист;

2) цель работы;

3) текст индивидуального задания;

4) выполнение индивидуального задания.

Краткие теоретические сведения

Системы счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными.

В позиционных системах счисления значимость (вес) каждой цифры числа зависит от позиции, которую она занимает. Значение числа, состоящего из n цифр, может быть определено следующим образом:

где m — основание системы;

, - символ в i -й позиции,

- вес i -го знакоместа.

Для десятичной системы счисления m = 10, используемые символы: 0-9.

563₁₀ =

I
xi
mi
ximi

Кроме десятичной системы широкое распространение получили позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16, 60.

Из непозициоиных систем самой распространенной является римская.

Электронные блоки компьютера могут обрабатывать информацию, представленную только в цифровой форме, причем обычно компьютеры работают в двоичной системе счисления. Основание системы: m = 2. Используемые символы: 1 и 0.

С точки зрения электроники значение единицы может быть представлено наличием напряжения, потенциала или тока, а ноль — отсутствием их.

Рассмотрим представление чисел в двоичной системе. Веса знакомест: 2⁰=1, 2¹=2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴=16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2¹⁰ = 1024, 2¹⁶ = 65536.

4.1.1 Перевод числа из десятичной системы в двоичную. Перевод числа из десятичной системы в двоичную осуществляется отдельно для целой и дробной частей числа по следующим алгоритмам:

а) целое десятичное число делится нацело на основание 2, затем на 2 делятся последовательно все частные от целочисленного деления, до тех пор пока частное не станет меньше основания. В результат заносится последнее частное и все остатки от деления, начиная с последнего (рисунок 4.1). 227₁₀= 11100011₂;

Рисунок 4.1 - Перевод числа из десятичной системы в двоичную

б) десятичная дробь последовательно умножается на основание 2, причем сразу после каждой операции умножения полученная целая часть записывается в результат и в дальнейшем умножении не участвует. Количество операций умножения зависит от требуемой точности, например, 0.64₁₀ = 0.10100011₂

0.64•2

1.28•2

0.56•2

1.12•2

0.24•2

0.48•2

0.96•2

1.92•2

1.84•2

4.1.2 Перевод числа из двоичной системы в десятичную. Перевод числа из двоичной системы в десятичную можно осуществлять для целой и дробной частей числа по одному алгоритму путем вычисления суммы произведений цифры двоичного числа на вес ее знакоместа:

11100011₂ = 1•2⁷ + 1•2⁶ + 1•2⁵ + 0•2⁴ + 0•2³ + 0•2² + 1•2¹ + 1•2⁰ = 128 + 64 + 32 + 2 + 1 = 227₁₀

0,10100011₂ = 1•2^-1 + 0•2^-2 + 1•2^-3 + 0•2^-4 + 0•2^-5 + 0•2^-6 + 1•2^-7 + 1•2^-8 = 0.5 + 0.125 + 0.0078 + 0.0039 = 0.6367₁₀

4.1.3 Представление в компьютере отрицательных чисел. В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления отсутствуют специальные символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления двоичных отрицательных чисел используются следующие две формы.

Форма значения со знаком - старший (левый) разряд метится как знаковый и содержит информацию только о знаке числа:

1 — число отрицательное;

0 — число положительное.

Остальные разряды отводятся под абсолютную величину числа.

5₁₀ = 0000 0101₂

-5₁₀ = 1000 0101₂

(Для 8-ми разрядного представления в памяти ПЭВМ)

Форма обратного дополнительного кода, перевод в которую производится по следующему алгоритму:

1. инвертировать все разряды числа, кроме знакового разряда;

2. прибавить единицу к полученному коду;

3. восстановить единицу в знаковом разряде.

Преобразование числа:

-5₁₀ = 1000 0101 111 1010 + 1 111 1011 1111 1011.

Чаще всего устройство компьютера выполняется таким образом, чтобы отрицательные числа были представлены в дополнительном коде, поскольку это дает существенную экономию времени при выполнении с ними арифметических операций.

Основные свойства дополнительных кодов:

Дополнительный код положительного числа — само число.

Преобразование дополнительного кода по приведенному алгоритму перевода приводит к первоначальному виду числа в знаковой форме.

4.1.4 Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе.

Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:

0+0=0,

0+1=1,

1 + 1=10;

+

Вычитание. Вычитание сводится к сложению с отрицательным числом:

15 - 8 =15+ (-8).

Правила вычитания в двоичной системе. Алгоритм операции вычитания путем сложения дополнительных кодов:

1. преобразовать отрицательное число из формы со знаком в дополнительный код;

2. выполнить операцию двоичного сложения над всеми разрядами, включая знаковый, игнорируя единицу переноса из самого высокого разряда;

3. при равенстве единице знакового разряда суммы, что означает получение отрицательного результата в форме дополнительного кода, необходимо перевести результат в знаковую форму, используя второе свойство дополнений.

13 – 15 = 13 + (-15)

1) -15₁₀=10001111 1110000+1 1110001 11110001

2)

+

3) 1111 1110 000 0001+1 1000 0010=210

Таким образом, при выполнении операций сложения и вычитания арифметико-логическому устройству процессора приходится выполнять поразрядное сложение с переносом, инвертирование и проверку на знак двоичных чисел.

В тех случаях, когда необходимо произвести арифметические действия над числами больше 127, они размещаются уже не в одном, а в двух и более регистрах.

Умножение. Если наряду с перечисленными операциями выполнить операции сдвига, то с помощью сумматора можно выполнить и умножение, которое сводится к серии повторных сложений. Если цифра в нулевой позиции множителя равна 1, то множимое переписывается под соответствующими разрядами, умножение на последующие единицы приводят к сдвигу слагаемого влево на одну позицию. Если цифра множителя равна 0, то следующее слагаемое смещается на две позиции влево.

15₁₀•13₁₀=195₁₀=11000011₂=1•2⁷+1•2⁶+1•2¹+1•2⁰=195₁₀

+
+ +
00001111.
00001111.

Деление. При выполнении операции деления несколько раз производится операция вычитания. Поэтому предварительно следует найти дополнительный код делителя. Деление выполняется путем повторного вычитания и сдвига. Для примера выполним деление числа 195 на 15 или в двоичной системе 1100001₂ на 1111₂. Дополнительный код числа 1111 11110001. Поскольку по правилам деления каждое промежуточное делимое должно быть больше делителя, выбираем в качестве первого делимого число 11000, т.е. первые пять разрядов и добавляем слева три нуля, дополняя делимое до 8 разрядов. Затем производим сложение его с дополнительным кодом делимого и заносим в результат единицу. Если следующее делимое - после сноса очередной цифры будет меньше делителя, то в результат заносится нуль и в делимое сносится еще одна цифра из исходного делимого.

+
+
+

Делимое 111 - на третьем шаге после сложения и сноски очередного разряда меньше делителя, поэтому записываем в результат 0 и сносим еще один разряд из оставшихся в делимом. После третьего шага результат сложения равен 0, деление закончено.

Ответ: 00001101₂ = 13₁₀

4.1.5 Использование восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления. Двоичная система счисления неудобна для использования человеком, поэтому программисты используют (использовали) восьмеричную (основание 8, используемые символы 0-7) и шестнадцатеричную (основание 16, используемые символы 0-9, A-F) системы (таблица 4.l).

Таблица 4.1 Позиционные системы счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
			А
			В
			С
			D
			Е
			F

Каждая тройка двоичных разрядов соответствует одной восьмеричной цифре, а каждая четверка — шестнадцатеричной. Отсюда следует простота преобразований из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Например:

11010011₂ = 1101 0011₂ = D3₁₆

11010011₂ = 011 010 011₂ =323₈.

Если исходное количество бит не кратно 3 или 4, добавляются нули слева.

Обратное преобразование аналогично:

В9₁₆= 1011 1001₂

270₈ = 10 111 000₂.

Перевод из десятичной системы в m-ричную систему счисления производится аналогично переводу в двоичную систему путем целочисленного деления десятичного числа на основание системы т до тех пор, пока частное не станет меньше основания. Так, перевод в 16-ричную систему осуществляется следующим образом:

Перевод из m-ричной системы в десятичную систему производится путем сложения произведений соответствующего десятичного эквивалента символа числа в m-ричной системе на вес i -го знакоместа.

Пример перевода из 16-ричной системы счисления в десятичную систему:

15В₁₆ = 1•16² + 5•16¹ + 11•16⁰ = 256 + 80 + 11 = 347₁₀.