Перевод чисел из q-ичной системы в десятичную

Для перевода числа из q -ичной системы счисления в десятичную необходимо:

1) пронумеровать каждую цифру q -ичного числа следующим образом: целую часть нумеруем, начиная с 0, справа налево в сторону увеличения, а дробную часть, начиная с –1, слева направо в сторону уменьшения;

2) каждую цифру q -ичного числа умножить на основание системы счисления q в соответствующей степени;

3) выполнить арифметические действия.

Задача 1. Перевести число 10011₂ в десятичную систему счисления.

1. Пронумеруем каждую цифру числа 10011₂.

^{4 3 2 1 0}

2. 10011₂=1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 16 + 0 + 0 + 2 +1 = 19₁₀.

Задача 2. Перевести число 132,01₈ в десятичную систему счисления.

132,01= 1×8² + 3×8¹ + 2×8⁰ + 0×8^-1 + 1×8^-2 = 64 + 24 + 2 + 0 + 1/64 = 90,016₁₀.

^{2 1 0 -1 -2}

Задача 3. Перевести число АС₁₆ в десятичную систему счисления.

АС = А×16¹ + С×16⁰ = 10×16¹ + 12×16⁰ = 160 + 12 = 172₁₀.

^{1 0}

Задача 4. Найти в 16-ричной системе счисления разность чисел 235₈ и 26_8.

Переводим число 235₈ в десятичную систему:

235₈ = 2×8² + 3×8¹ + 5×8⁰ = 128+24+5=157₁₀.

^{2 1 0}

Переводим число 26₈ в десятичную систему:

26₈ = 2×8¹ + 6×8⁰ = 16+6 =22₁₀.

^{1 0}

Выполним необходимые арифметические действия:

157₁₀ – 22₁₀ = 135₁₀.

Переведем результат, т.е. число 135₁₀, в 16-ричную систему счисления:

		13510 = 8716.

Таким образом, разность чисел 235₈ и 26₈ будет равна 87_16.

Задача 5. Расставить числа А, В, С по возрастанию: А =11001₂; В =1011₂; С =231_8.

Переведем все числа в одну систему счисления, т.е. в десятичную:

А =11001₂ = 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀.

^{4 3 2 1 0}

В = 1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 =11₁₀.

^{3 2 1 0}

С = 231₈ = 2×8² + 3×8¹ + 1×8⁰ = 128 + 24 +1 = 153₁₀.

^{2 1 0}

Сравним эти числа и получим следующее неравенство: В < A < C.

Задача 6. Найти количество целых чисел, кратных 101₂, на отрезке [-12₈; 24₈].

Числа даны в различных системах счисления, поэтому для решения данной задачи все числа необходимо перевести в одну систему счисления, т.е. в десятичную.

101₂ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 4 + 0 + 1 = 5₁₀.

^{2 1 0}

12₈ = 1×8¹ + 2×8⁰ = 8 + 2 = 10₁₀.

^{1 0}

24₈ = 2×8¹ + 4×8⁰ = 16 + 4 = 20₁₀.

^{1 0}

Таким образом, нам нужно найти количество целых чисел, кратных 5₁₀, на отрезке [-10₁₀; 20₁₀]. Это числа –10, –5, 0, 5, 10, 15, 20.

Их количество равно 7.

Задача 7. Вычислить значение выражения 25₈–12₈+27₈×4₈. Результат представить в 16-ричной системе счисления.

25₈ = 2×8¹ + 5×8⁰ = 16 + 5 = 21₁₀.

^{1 0}

12₈ = 1×8¹ + 2×8⁰ = 8 + 2 = 10₁₀.

^{1 0}

27₈ = 2×8¹ + 7×8⁰ = 16 + 7 = 23₁₀.

^{1 0}

4₈ = 4×8⁰ = 4₁₀.

Подставим полученные числа в выражение 21₁₀–10₁₀+23₁₀×4₁₀ = 103_10.

Переведем результат в 16-ричную систему:

Таким образом, результатом будет 67₁₆.