ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Пусть на координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы:
а) точка
б) ненулевой вектор
Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.
Пусть произвольная или, как говорят, текущая точка
нашей прямой.Для всех точек этой прямой и только для них характеристическим свойством, определяющим эту прямую, является перпендикулярность векторов .
Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения Получили векторное уравнение прямой. Найдем координатную форму записи векторного уравнения прямой. Так как, М M= (x-x )i + (y - y )j, ,то имеем
Полученное соотношение позволяет по координатам точки
и координатам А, В нормали записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.
Пример.1 Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
|
|
Решение. Найдем координаты вектора , который является вектором нормали к нашей прямой .Уравнение высоты:
6(x-12)+4(y+1)=0; 3x+2y-34=0.
2.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
Задача. Что представляет из себя фигура на плоскости, описываемая уравнением (1)
Решение. Пусть точка принадлежит нашей фигуре, тогда Ax +By + C 0 (2). Вычитая из (1) (2), получим
(3)
Уравнение (3) получено из (1) тождественным преобразованием,
Поэтому оба уравнения описывают одну и ту же фигуру.Но (3)
описывает прямую линию на плоскости, проходящую через точку перпендикулярно ненулевому вектору
.Уравнение (1) называют общим уравнением прямой на плоскости. коэффициенты а и bв общем уравнении прямой имеют простой геометрический смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой.