Для того что бы составить уравнение прямой в пространстве необходимо:
1 Найти точку, через которую проходит прямая
2 Установить или найти координаты направляющего вектора
3 Составить уравнение прямой, используя уравнение (10).
Задача 13 Составить уравнения прямой, проходящей через точку пересечения плоскости
с осью OX, перпендикулярно плоскости .
Дано:
α1: ,
α1∩OX= P, P ∊ l
α2:
Составить уравнение прямой l.
Решение
1 Найдем точку, через которую проходит прямая.
α1∩OX= P, тогда P(x,0,0), подставим в уравнение α1 получим:
, x=6, тогда P(3;0;0).
2 Найдем направляющий вектор прямой.
Выполним схематично чертеж второго условия задачи (рис. 16).
Рис.16
Так как прямая l перпендикулярна плоскости α2, то нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, т. е. ;
3 Составим каноническое уравнение прямой
,
Ответ:
Задача 15 В треугольнике АВС: А(1;-2;4), В(3;1;3), С(5;1;-7). Составить каноническое уравнение высоты из вершины В.
Решение
Через три точки А, В, С проходит плоскость α и при том только одна,
|
|
поэтому ΔАВС лежит в плоскости α.
Выполним схематичный чертеж (рис.17)
Рис.17
1 Найдем точку через которую проходит прямая ВD.
По условию прямая BD проходит через точку В(3;1;3)
2 Найдем координаты направляющего вектора S.
Пусть вектор лежит на прямой BD (рис. 3). По условию
Вектор лежит в плоскости α, тогда – нормальный вектор плоскости.
Если , то вектор можно найти,как векторное произведение векторов
и , т.е. (*)
Найдем вектор :
Найдем координаты векторов :
Найдем вектор (см. (*))
3 Составим уравнение прямой.
Подставим координаты точки Р и вектора в каноническое уравнение прямой, получим уравнение высоты BD:
Помножим каждую часть уравнения на - 4, получим
Ответ: