Расстояние от точки до прямой. Пусть заданы точка и прямая уравнением

Пусть заданы точка и прямая уравнением

Найдём расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой равно длине проекции вектора где -произвольная точки прямой на направление нормального вектора .Значит,

Так как точка принадлежит прямой то или Поэтому

Пример9. Две стороны квадрата лежат на прямых и . Вычислить его площадь.

Решение: Из заданных уравнений прямых следует, что они параллельны (коэффициенты и – одинаковы). Для нахождения длины стороны квадрата нужно найти расстояние от одной прямой до другой. Это можно сделать, взяв точку на одной прямой и определить расстояние от нее до другой прямой. Возьмем первую прямую: , пусть , подставив это значение в уравнение, получим уравнение относительно , откуда найдем . Таким образом, получим точку, принадлежащую первой прямой: .

Расстояние от точки с известными координатами до прямой определяем с помощью формулы: .

Теперь определяем площадь: . Ответ: .

Пример10. По известным координатам вершин треугольника , , записать для его сторон и биссектрисы угла уравнения.

Решение: Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение сторон в канонической форме.Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

1. Найдем уравнение стороны . В качестве точки прямой можно взять точку с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор . Найдем координаты вектора :

2. Тогда каноническое уравнение стороны запишется как: , или .

3. Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны : координаты вектора .

4. Откуда каноническое уравнение: . Следовательно, общее уравнение: .

5. Для стороны : координаты направляющего вектора .

6. Каноническое уравнение: , или .

7. Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах и треугольника отложить орты (соответственно и ) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов и .

Для нахождения орта необходимо знать координаты вектора :

, откуда и, соответственно определится как:

. Иллюстрация решения задачи

8. Аналогично определим орт :

; ;

. Теперь определим их сумму:

9. Тогда каноническое уравнение биссектрисы:

Пример11. Определить координаты точки, симметричной точке М (-1;0) относительно прямой х-3у+6=0.

Решение. Симметричная точка относительно прямой

х-3у+6=0 лежит на перпендикуляре к этой прямой, который проходит через точку М(-1; 0), следовательно, нам нужно составить уравнение этого перпендикуляра. Угловой коэффициент заданной прямой k= 1/3, поэтому угловой коэффициент перпендикуляра k=-3 и его уравнение y-0=-3(x+1),

y+3x+3=0.Теперь находим координаты точки пересечения P прямой х-3у+6=0 и перпендикуляра y+3x+3=0. Для этого решим систему уравнений:

P(-1,5;1,5).

Пусть M (x ;y )-точка симметричная точке М относительно данной прямой. Точка P расположена посредине отрезка М М , поэтому можно использовать формулы координат средины отрезка: