Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности

Если на плоскости хоу заданы две прямые с известными угловыми коэффи­циентами и , то можно найти угол между этими прямыми, как угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую 1 до ее совпадения с прямой 2

или

Параллельность прямых равносильна равенству углов наклона и, следовательно, равенству угловых

коэффициентов и :

Для перпендикулярных прямых и имеем

Если прямые и заданы с помощью их общих уравнений

для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы были коллинеарными их нормальные векторы а коллинеарность векторов равносильна пропорциональности их координат. Поэтому

Так как последнее равенство преобразуется в соотношение то полученное условие параллельности двух прямых можно записать при помощи определителя второго порядка:

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда ортогональны их нормальные векторы. Условие ортогональности нормальных векторов эквивалентно равенству нулю их скалярного произведения .е., условию

Пример6. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

Решение.k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

Пример7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение:1способ. Так как искомая прямая по условию задачи должна быть параллельной исходной, это значит, что они имеют одинаковые угловые коэффициенты. Записав уравнение заданной прямой в виде с угловым коэффициентом y=-0,5x-1,5, находим . Записав уравнение заданной прямой в виде с угловым коэффициентом y=-0,5x-1,5, находим . Обозначим координаты точки как , имеем , ; прямую, проходящую через эту точку, можно описать уравнением с угловым коэффициентом; подставим в него известные значения, получим: . Проведя несложные преобразования, получим искомое уравнение: .

2 способ.

Прямые должны быть параллельны, это значит, первые два коэффициента в общем уравнении у них должны быть одинаковы, следовательно уравнение нашей прямой x+2y+c=0, нужно найти только значение свободного члена ; из условия принадлежности точки нашей прямой получим 1+2.2+с=0 или с=-5

Имеем искомое уравнение: .

Пример8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение: 1способ. Записав уравнение заданной прямой в виде с угловым коэффициентом y=-0,5x-1,5, находим . Из условия перпендикулярности прямых найдем угловой коэффициент искомой прямой k=2. Обозначим координаты точки как , имеем , ; прямую, проходящую через эту точку, можно описать уравнением с угловым коэффициентом; подставим в него известные значения, получим: .или:

2 способ. Вектор нормали прямой данной в условии задачи

={1;2} является направляющим вектором искомой прямой

{1;2}. Обозначим координаты точки как , имеем , ; Имеем каноническое уравнение , или: .