Прямая и точка в плоскости

Кчислу основных задач, решаемых на плоскости, относят:

– проведение любой прямой в плоскости;

– построение в плоско­сти некоторой точки;

– построение недостающей проекции точ­ки;

– проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии:

прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной. При этом используется известное условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проек­ции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежа­щей плоскости.

Проведение любой прямой в плоскости. Для этого достаточ­но (рис.7) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например a', а и 1', 1,и через них про­вести проекции a'1', а-1 прямой А-1. На рисунке 8 про­екции b'1', b-1 прямой В-1 проведены параллельно проекциям a'c', ас стороны AС треугольника, заданного проекциями a'b'c', abc. Прямая В-1 принадлежит плоскости треугольника ABC.

Построение в плоскости некоторой точки. Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже (рис. 9) плоскости, за­данной проекциями a', а точки, b'c', bc прямой, проведены проекции а'1', а-1 вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d', d точки D,принад­лежащей плоскости.

Рис.7 Рис.8 Рис.9

Построение недостающей проекции точки. На рисунке 10 плоскость задана проекциями a'b'c', abc треугольника. При­надлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d'. Сле­дует достроить горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плос­кости и проходящей через точку D. Для этого проводят, на­пример, фронтальную проекцию b'1'd' прямой, строят ее горизонтальную проекцию b-1 и на ней отмечают горизон­тальную проекцию d точки.

Рис. 10 Рис.11

Проверка принадлежности точки плоскости. Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так, на рисунке 11 плоскость P задана проекциями a'b', ab и c'd', cd параллель­ных прямых, точка – проекциями e', е. Проекции вспомога­тельной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, фронтальная проекция 1'2' вспомогательной прямой проходит через проекцию e'. Пост­роив горизонтальную проекцию 1-2 вспомогательной прямой, убеждаемся, что точка E не принадлежит плоскости Р.