Просторове квантування

Рух електрона в просторі і його положення характеризується трьома координатами, і є рухом з трьома степенями вільності. В сферичній системі координат (, , ) відповідно до умов Зоммерфельда ми отримаємо три рівняння, які описуватимуть рух з трьома степенями вільності:

(2.54)

Тут - радіальне квантове число

- екваторіальне квантове число

- широтне квантове число

Тут кут між віссю Z і електроном (в точці М), який рухається по еліптичній орбіті АВ, яка складає кут з площиною (XOY).

Якщо на систему не діють зовнішні сили, то орбіта руху електрона буде нерухомою і плоскою. Визначимо величини інтегралів руху, які входять в рівняння (2.54). Вираз для кінетичної енергії має вигляд (для сферичної системи координат):

(2.55)

А повна енергія буде як сума кінетичної і потенціальної:

(2.56)

Або через функцію Гамельтона:

Тоді для величин імпульсів маємо:

(2.57)

Враховуючи, що без дії зовнішніх сил, повна енергія системи визначається головним квантовим числом, то отримаємо:

n=n_r+n_θ+n_ψ=n_r+n_φ (2.58)

n_θ+n_ψ=n_φ

В вираз повної енергії системи координата не входить, отже:

або

Тоді на основі третьої умови квантування в (2.54) маємо:

(2.59)

Величина являє собою проекцію повного моменту кількості руху електрона на вісь Z. Позначимо , тоді ;

Враховуючи, що та n_θ+n_ψ=n_φ, то значення квантового числа може бути в межах:

(2.60)

приймає (2 n_φ+1) [ =0; 1; 2… ] значень

- магнітне квантове число, так як воно визначає проекцію магнітного і механічного моментів на напрямок зовнішнього магнітного поля. Отримаємо ще більш значне виродження системи по ,(раніше було тільки по =К, азимутальному).

Накладання магнітного поля знімає виродження по . Орбіти руху електрона з різним значенням будуть мати в такому випадку різні енергії. Визначимо орієнтації механічного моменту в магнітному полі: