2015-06-28
640
Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени.
Способы задания и уравнения плоскости:
1) точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости, вектор 
(А; В; С) перпендикулярен плоскости, тогда уравнение плоскости имеет вид: А(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0;
2) уравнение плоскости в отрезках: 
, где а, в, с – абсцисса, ордината, аппликата точек пересечения плоскости с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно;
3) точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости, вектора 
(а1; а2; а3) и 
(b1; b2; b3) параллельны плоскости, тогда уравнение плоскости имеет вид: 
;
4) уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3): 
;
5) нормальное уравнение плоскости: x cos 
+ y cos 
+ z cos 
- 
= 0, где - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, , , - углы, образованные перпендикуляром с координатными осями, причём 
.
Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости, координаты нормального вектора (А; В; С).
Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель 
, знак которого противоположен знаку свободного слагаемого в общем уравнении плоскости.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением двух плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 имеет вид A1x + B1y + C1z + D1 + 
(A2x + B2y + C2z + D2) = 0.
Уравнение связки (пучка) плоскостей A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Угол между двумя плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0 вычисляется по формуле 
.
Взаимное расположение двух плоскостей:
1) 
- плоскости параллельны;
2) А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0 – плоскости перпендикулярны;
3) 
- плоскости совпадают;
4) 
- плоскости пересекаются.
Расстояние от точки М0(x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 находится по формуле d = 
.
