Прямая линия на плоскости

Лекция №10

Прямая линия на плоскости может быть задана:

1. Векторным уравнением в параметрической форме.

, , (1)

где - направляющий вектор прямой, - радиус-вектор фиксирован­ной точки на прямой.

, точка - текущая точка прямой .

2. Нормальным векторным уравнением

, , (2)

где - нормальный вектор прямой.

3. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, может быть записано в векторной форме.

. (3)

- параметр, R.

Когда пробегает от до , тогда точка М пробегает всю прямую .

4. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение вида

(4)

называется общим уравнением прямой.

5. Уравнение

(5)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

y

b α

x

=tgα – угловой коэффициент.

6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

y

α

0 x

, (6)

=tgα.

7. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

y

x

. (7)

8. Уравнение прямой в отрезках на осях.

. (8)

y

x

0

9. Нормальное уравнение прямой линии на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

y

p α x

0 d

Нормаль к прямой образует угол α с положительным направлением оси .

. (9)

Расстояние от точки до прямой на плоскости находится по формуле:

. (10)

Для нормального уравнения (9) характерно, что

.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду надо обе части этого уравнения умножить на нормирующий множитель :

. (11)

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

10. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

– параметр, .

Пусть две прямые заданы уравнениями:

(2) (1)

x

0

Тангенс угла между этими прямыми находится по формуле

. (12)

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

. (13)

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

(14)

или .

Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку.