Расстояние от точки до прямой

Дана точка и прямая Ax+By+C=0. Найти расстояние от точки до прямой Ax+By+C=0.

Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Найдем скалярное произведение , так как .

Точка лежит на прямой.

Поэтому т.е. .

Итак, мы получили

(d – расстояние от точки до прямой, т.е. ).

Отсюда

Окончательно, получаем формулу для вычисления расстояния от точки до прямой .

Пример. Даны вершины треугольника АВС: А(-1,0); В(2,-1); С(3,2). Найти длину высоты, опущенной из вершины А.

Решение. Длина высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС – это и есть расстояние от точки А до прямой, проходящей через точки В и С.

Уравнение ВС:

3x-y-7=0 уравнение ВС

.