Информационно-познавательный блок

Теорема. Для всех точек одной и той же полуплоскости, определенных уравнением прямой , принимает числовые значения, одинаковые по знаку; для всех точек второй полуплоскости имеет противоположные значения.

Пусть – прямоугольная система координат.

, (7.1)

, (7.2)

тогда неравенству (7.1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат в одной из двух полуплоскостей, определенных прямой .

Неравенству (7.2) удовлетворяют точки второй полуплоскости и только они.

Далее, каждое из неравенств , задает полуплоскости вместе с ограничивающей ее прямой.

Пусть – аффинная система координат, рассмотрим прямую

(7.3)

возьмем любую прямоугольную систему координат . Подставляя выражения старых координат и некоторой точки через новые координаты и этой же точки в левую часть уравнения (7.3) получаем:

(7.4)

Поэтому есть уравнение прямой в системе координат . Из равенства (7.4) вытекает, что указанный геометрический смысл неравенств (7.1) и (7.2) имеет силу и в аффинной системе координат.

Пример 7.1. Прямая делит плоскость пополам. Определить взаимное расположение точек , , относительно прямой .

Решение. Подставим координаты точек в уравнение прямой .

,

,

.

Так при подстановке в уравнение прямой координат точек и , получили неравенство одного знака, то они лежат в одной полуплоскости, полученной при пересечении плоскости прямой , а точка лежит в другой полуплоскости.

Ответ. Точки и лежат по одну сторону от прямой, точка лежит по другую.

УЭ-8.Деятельностно-творческий

Учебная задача:

- сформировать профессиональное мышление;

- сформировать практические знания и умения, позволяющие определять положение прямой относительно системы координат, взаимное расположение двух прямых на плоскости, пучок прямых на плоскости, находить расстояние от точки до прямой, расстояние между двумя параллельными прямыми, угол между прямыми на плоскости.

Задание 1. Внимательно прочитайте задания 2-14. Выполните их в своей рабочей тетради. При возникновении каких-либо сложностей при решении, проконсультируйтесь с преподавателем.

Задание 2. На плоскости прямая задана уравнением . Докажите, что вектор является нормальным вектором прямой .

Задание 3. Докажите, что в следующих случаях две прямые пересекаются, и найдите точку их пересечения:

a) ;

b) ;

c) .

Задание 4. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:

a) ;

b) ;

c) .

Задание 5. Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:

a) ;

b) ;

c) .

Задание 6. Найти расстояние от точки до прямой .

Задание 7. Найти расстояние от прямой до начала координат.

Задание 8. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую .

Задание 9. Определите взаимное расположение двух прямых и , и, если возможно, вычислите расстояние между этими прямыми.

Задание 10. Определите уравнение биссектрисы угла, образованного прямыми и .

Задание 11. Не определяя угловых коэффициентов, вычислить угол между прямыми и .

Задание 12. Вычислить углы треугольника, стороны которого даны уравнениями , и .

Задание 13. Найти центр пучка прямых, заданного уравнениями .

Задание 14. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и

a) проходящей через начало координат;

b) параллельной оси ;

c) параллельной оси ;

d) параллельной прямой ;

e) перпендикулярно к прямой .

УЭ-9. Литература для самообразования

1. Адамар, Ж. Элементарная геометрия. Часть вторая. Стереометрия / Ж. Адамар. – 2-е изд. – Москва. УЧПЕДГИЗ – 1951. – 760 с.

2. Александров, П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П.С. Александров. – Москва. Наука. – 1979. – 512 с.

3. Антонов, В.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие / В.И. Антонов, М.В. Лагунова, Н.И. Лобкова [и др.]. – Москва. Проспект. – 2011. – 144 с.

4. Атанасян, В.А. Сборник задач по геометрии. Часть 1 / В.А. Атанасян, Л.С. Атанасян. – Москва. Просвещение. – 1973. – 256 с.

5. Бурунов, А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии: Учебное пособие / А.А. Бурдун, Е.А. Мурашко, М.М. Толкачев, А.С. Феденко. Под редакцией А.С. Феденко. – 2-е изд. – Минск: Унiверсiтэцкае. – 1999. – 302 с.

6. Кандинский, В. Точка и линия на плоскости / В. Кандинский. – Санкт-Петербург. Азбука-классика. – 2005. – 232 с.

7. Сетько, Е.А. Аналитическая геометрия на плоскости: Учебно-методическое пособие / Е.А. Сетько. – Гродно. ГрГУ. – 39 с.