Расстояние от точки до прямой

Отклонением точки от прямой L называется расстояние от этой точки до прямой L, взятое со знаком “+”, если точка и начало координат O находятся по разные стороны от прямой L, и со знаком “–”, если и O находятся по одну сторону от L. Если O лежит на L, то знак не определен.

Теорема 2 (об отклонении точки от прямой).

Пусть уравнение прямой L имеет вид (27), тогда отклонение произвольной точки плоскости от этой прямой равно (29)

Д-во:

,

,

Докажем, что

1.

- расстояние от до L.

L разделяет плоскость на две полуплоскости, а направлен в ту полуплоскость, где находится точка . Если и O находятся по разные стороны от L, то сонаправлен с вектором .

2. , тогда направлен в ту полуплоскость, где находится точка O, т.е. и О находятся по одну сторону от прямой L.

Следовательно, по определению отклонения из п.п. 1 и 2 вытекает, что

Вычислим

Теорема доказана

Следствие: Расстояние от точки допрямой L, заданной нормированным уравнением равно

(30)

(31)

Пример:

Найти:

1) высоту h в треугольнике ABC, опущенную из вершины A;

2) уравнение биссектрисы внутреннего угла B.

- расстояние от точки A до прямой BC.

1.

2.

Пусть расстояния от т. M (x; y) до прямых BA и BC равны между собой

а)

б)

а)

б)

нам нужно уравнение б).