Глава I. Производная и ее применение

Предел функции. Непрерывность функции. Правила дифферен-цирования. Производная степенной функции. Таблица производ-ных элементарных функций. Геометрический смысл производ-ной. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Применение производной к построению графиков функций. Наи-большее и наименьшее значения функций. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Основные цели — формирование понятия производной; обуче-ние нахождению производных с использованием формул и правил дифференцирования; формирование начальных умений в примене-нии методов дифференциального исчисления к решению практиче-ских задач.

Понятия непрерывности и предела функции вводятся для уча-щихся всех профилей, кроме физико-математического, на наглядно-интуитивной основе.

Понятие производной функции первоначально рассматривается как мгновенная скорость движения материальной точки, затем вво-дится общее определение производной через предел разностного отношения. Закреплению понятия производной способствует вывод производных отдельных функций «по определению».

В учебнике рассматриваются четыре правила нахождения произ-водных. В классах социально-экономического и естественного профи-лей можно рассмотреть доказательство лишь правила нахождения производной суммы. В классах физико-математического профиля учащимся желательно предлагать выводить все правила дифференци-рования.

Происходит знакомство со сложной функцией и правилом нахож-дения ее производной. Для социально-экономического профиля это знакомство не является обязательным. При желании учитель может ограничиться рассмотрением правила нахождения производной слож-ной функции для случая у = f(kх + b). Навык нахождения производ-ной сложной функции может отрабатываться только у учащихся технического и физико-математического профилей.

Усвоение геометрического смысла производной и написание уравнения касательной к графику функции в заданной точке является обязательным для всех учащихся.

Прикладное значение знаний о касательной при построении фо-куса параболы можно демонстрировать лишь в классах технического и физико-математического профилей.

С помощью теоремы Лагранжа обосновывается достаточное условие возрастания и убывания функции. Доказательство сформулирован-ных в учебнике теорем можно требовать лишь от учащихся классов физико-математического профиля. Вводятся понятия критических и стационарных точек. Должное внимание уделяется теореме Ферма и ее геометрическому смыслу, а также достаточному условию экстремума.

При обучении построению графиков функций с помощью произ-водной подчеркиваются особенности построения графиков четных и нечетных функций. В классах физико-математического профиля мож-но рассмотреть построение графиков функций, не являющихся не-прерывными на всей области определения. В этих классах можно вве-сти понятие асимптоты.

Уровень сложности изложения и содержание прикладного аспекта в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке или интервале (при решении геометрических и физических задач) учитель выбирает в соответствии с целями обучения в классах конкретного профиля.

Понятие производной второго порядка и ее приложение к выяв-лению интервалов выпуклости функции рассматриваются только на занятиях в классах технического и физико-математического профилей.