Ранг матрицы

Определение 14. Пусть в матрице размера (т х п) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k < min (m, п)). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-гo порядка матрицы А.

Определение 15. Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом.

Определение 16. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка местами двух строк;

2) поэлементное умножение строки на не равное нулю
число;

3) поэлементное прибавление одной строки соответ­ствующих элементов другой строки, умноженных на про­извольное число ;

4) вычеркивание нулевой строки.

Матрица имеет ступенчатый вид, если в каждой ее строке стоит нулей больше, чем в предыдущей. При этом учитываются лишь нули, стоящие в начале строки до пер­вого ненулевого числа.

Теорема 1. Любую матрицу можно с помощью конеч­ного числа элементарных преобразований привести к сту­пенчатому виду.

Теорема 2. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк матрицы после приведения ее с помощью элемен­тарных преобразований к ступенчатому виду.

Пример 10. Вычислить ранг матрицы

r(A)=2.

Ответ: r(A)=2.

Пример 11. Вычислить ранг матрицы

r(A)=3.

Ответ: r(A)=3.