Обратная матрица

Определение 11. Квадратная матрица (т = п) называет­ся вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Определение 12. Если А - невырожденная матрица, то существует, и притом единственная, матрица такая, что

,

где Е - единичная матрица того же размера, что и матри­цы А и А^-1.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А.

Определение 13. Назовем матрицу А^T транспонированной, если она является транспонированной матрицей, состав­ленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.

Если матрица А — невырожденная, то

Пример 2. Найти сумму матриц А и В, если

Решение.

Ответ

Пример 3. Вычислить матрицу 2А+ 5В, если

Решение.

Ответ

Пример 4. Найти произведение АВ матрицы-строки А = (5 7 -2) на матрицу

Решение.

(5 7-2) = = = (21 37 21).

Ответ: матрица-строка размера (1x3)- (21 37 21).

Замечание. (1x3)- матрица при умножении на (3 х 3) - матрицу дает (1x3)- матрицу.

Пример 5. Найти произведение АВ, если А =

- (2 х 3) - матрица, В = -(3x1)- матрица.

Решение. При умножений (2 х 3) - матрицы на (3 х 1) матрицу получим (2x1) — матрицу.

Ответ

Пример 6. Даны матрицы Найти матрицы АВ и ВА.

Ответ:

Замечание. Очевидно, АВ≠ ВА, т.е. произведение матриц не перестановочно.

Пример 7. Доказать, что матрица

является обратной для матрицы

Решение.

Ответ: матрица А^-1 является обратной матрице А.

Пример 8. Найти транспонируемую матрицу для матрицы

Решение.

Присоединенная матрица является транспонированной матрицей из алгебраических дополнений данной матрицы.

-

Для данной матрицы

Итак, транспонируемая матрица А^Т равна

Пример 9. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А примера 8.

Решение. Так как , то найдем