Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве

1. Векторы в пространстве. В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, или лежащие в этой плоскости, называются компланарными.

Три вектора, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, считаются компланарными.

Любой вектор пространства можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам :

2. Прямоугольная система координат в пространстве. Пусть в прост­ранстве задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов , отложенных от некоторого начала — точки О. Такую тройку векторов называют прямоугольным базисом в пространстве. Совокупность начала О и прямоугольного базиса называют прямоугольной системой координат в пространстве.

Разложение вектора в базисе имеет вид

Если началом вектора является точка концом — точка , то вектор имеет координаты, равные разностям соответствующих координат точек B и A:

и записывается в виде

3. Правила действий над векторами, заданными своими координатами.

Если в базисе заданы векторы и , то: ;

координаты разности двух векторов равны:

;

координаты произведения вектора на число:

4. Условие коллинеарности двух векторов. Условие коллинеарности двух векторов и имеет вид

Если , то векторы имеют одинаковое направление; если т<0, то направления векторов противоположны.

5. Длина вектора. Длина вектора (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле

Длина радиус-вектора вычисляется по формуле

6. Деление отрезка в данном отношении. Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении , то координаты точки С находятся по формулам

При получаются формулы для нахождения координат середины отрезка:

7. Направляющие косинусы вектора. Углы, образуемые радиус-вектором с координатными осями Ox, Оу, Oz, вычисляются по формулам

Косинусы углов, вычисляемые по этим формулам, называются направ­ляющими косинусами вектора .

Для направляющих косинусов вектора имеет место соотношение

.