Завдання. 2) Довести, що матриця ідемпотентна і знайти ранг А

Маємо: x =

1) Знайти А=I-x (x^Тx)^-1 x^Т

2) Довести, що матриця ідемпотентна і знайти ранг А.

3) Навести квадратичну форму z^ТAz до канонічного вигляду, знайти

4) Розв¢язати методом жорданових виключень систему рівнянь.

РОЗВ¢ЯЗАННЯ:

1) Обчислимо А.

X^tx = =

Знайдемо методом жорданових виключень (х^tx)^-1.

	x1	x2
У	[6]
У2

ß

	y1	x2
x1	[1]	-5	:6
y2

	y1	x2			y1	y2				y1	y2
x1	1/6	-5/6	Þ	x1	10/6	-5/6	:35/6	Þ	x1	10/35	-5/35
y2	5/6	[35/6]		x2	-5/6.	[1]			x2	-5/35	-6/35

Отримали (x^tx)^-1= =

Перевіримо правильність обчислення:

I=(x^tx)^-1*(x^tx)= = =

Отже, обернена матриця знайдена вірно.

Обчислимо x(x^tx)^-1x^t

x(x^tx)^-1 = =

x(x^tx)^-1x^t = =

Тоді маємо:

A=I- x(x^tx)^-1x^t= - =

2). Доведемо, що А ідемпотентна, тобто А х А =А

А х А= = =

= =А

Методом жорданових виключень знайдемо ранг А.

	х1	х2	х3			х1	х2	y3
у1		-15			у1				: 1
у2	-15		-3	Þ	у2			-3
у3		-3	[1]		x3	-5

Тоді ранг А=1

3) Наведемо квадратичну форму z^tAz до канонічного вигляду.

Не канонічний вигляд:

(z₁z₂z₃) = (z₁z₂z₃) = [25z₁²-

-15z₁z₂+5z₁z₃-15z₁z₂+9z₂²-3z₂z₃+5z₁z₃-3z₂z₃+z₃²]= [25z₁²+9z₂²+z₃²+2(-15 z₁z₂+5z₁z₃--3z₂z₃)]

Так як матриця А симетрична, тобто А^т=А, то існує така ортогональна матриця Q, що Q^tAQ=l= , l_i (і = ) - власні значення матриці А, рішення характеристичного рівняння |A-lI| = 0. Матриця Q складається з власних векторів матриці А, які є рішеннямb матричного рівняння А = l_i (і = ),

=

Розв¢яжемо характеристичне рівняння.

|A-lI| = = +

+ + =

+ 15/35 +

+ 5/35 = (25/35-l)(+l²-10l/35)+15/35*15l/35+

+5/35(5l/35) = -l³+l²=0

l²(-l+1)=0 Þ l₁=1; l_2,3=0

Знайдемо власні вектори , які відповідають власним значенням l_і.

l₁=1

[A-l_іI] =0 [A-I] = 0

1/35 = 0 Þ Þ

Розв¢яжемо систему методом виключень, виключимо h₃ з другого і третього рівнянь.

Þ Þ

h₂=3k, 3h₁=-5(3k), h₁=-5k, h₃=2h₁+3h₂=2(-5k)+3*3k=-k

Отримали = к. Пронормуємо , тобто ½ ½²=1 Þ

к²(25+9+1)=1 к = 1/

Тоді =1/

l₂=0 [A] =0 Þ Þ 5h₁-3h₂+h₃=0

h₃=-5h₁+3h₂ ì h₁=0; h₂=k; h₃=3k Þ =k ï ï²=1 Þ (0²+1²+3²)k²=1

k=1/ = 1/

l₃=0

За умови ортогональності = 0. Якщо = , то

* =1/ (0*h₁+h₂+3h₃)=0

Тоді

é 5h₁-3h₂+h₃=0

ë 0*h₁+h₂+3h₃=0 Þ h₃=k, h₂=-3k, 5h₁=-10k, h₁=-2k

Отримаємо:

Тоді ортогональна матриця

Перевіримо правильність обчислень

Проведемо заміну змінних

Тоді

Приведемо форму до канонічного вигляду:

де

Знайдемо

Розв'яжемо систему лінійних рівнянь з правою частиною методом жорданових включень, її матричний вигляд , запишемо данні в жорданову таблицю.

	x1	x2	x3				y1	x2	x3
y1	[1]		-3		Þ	x1	[1]	-1		-1	: 1 Þ
y2	-1		-1	-4		y2				-6
y3	-1			-4		y3	-1		-2	-3

		x1	x2	x3
Þ	y1	[1]		-3
	y2	-1		-1	-4
	y3	-1			-4

В результаті 1-го кроку ми змінили місцями x₁ і y₁, x₁ стала залежною, а y₁ - незалежною змінною. Далі змінюємо x₂ на y₂, обираючи а₂₂=1 розв'язувальним елементом.

	y1	x2	x3				y1	y2	x3
x1		-1		-7	:1Þ	x1		-1		-7
x2	-2	[1]	-5			x2	-2		-5
y3			-27			y3			[27]

На третьому кроці змінюємо x₃ на y₃, обираючи розв'язувальним елементом а₃₃=-27.

	y1	y2	x3				y1	y2	y3
x1		-13		-27	:-27Þ	x1	-7/27	13/27	-8/27
x2	-1	-2	-5	-27		x2	1/27	2/27	5/27
y3		-5	[1]	-27		x3	-11/27	5/27	-1/27

Отримали рішення системи при y₁=y₂=y₃=0; x₁=x₂=x₃=1 і обернену

матрицю системи рівнянь.

Перевіримо отриманий результат

Тоді рішення вірно.