Знаходження оберненої матриці

Розглянемо невироджену матрицю n-го порядку:

Для визначення оберненої матриці складемо систему лінійних рівнянь, в якій роль вільних членів виконуватимуть залежні змінні:

або .

Припустимо, що треба знайти розв'язок системи. Помножимо обидві частини рівності на обернену матрицю:

.

Враховуючи, що , а , дістанемо .Відшукання оберненої матриці зводиться до того, щоб незалежні змінні x_i зробити залежними і залежні змінні y_j зробити незалежними.

Запишемо систему рівнянь у табличній формі:

	x1	x2	....	xn
y1	a11	a12	....	a1n
y2	a21	a22	....	a2n
·	·	·	....	·
·	·	·	....	·
yn	an1	an2	....	ann

Щоб поміняти незалежні змінні на залежні і навпаки, послідовно виконаємо над таблицею n кроків ЗЖВ. Якщо за розв'язувальні брати не лише діагональні елементи, то після перестановки деяких рядків та деяких стовпців таблиця набуде вигляду:

	y1	y2	....	yn
x1	a11	a12	....	a1n
x2	a21	a22	....	a2n
·	·	·	....	.
·	·	·	....	.
xn	an1	an2	....	ann

Матриця цієї таблиці є оберненою до матриці [A], тобто

Приклад

Нехай задана вироджена матриця:

Знайти матрицю, обернену до матриці [A]. Складемо таблицю:

	x1	x2	x3
y1	[1]
y2
y3

Зробивши один крок ЗЖВ з розв'язувальним елементом а₁₁=1, дістанемо таблицю:

	y1	x2	x3
x1			-3
y2		[1]	-6
y3

Другий крок ЗЖВ зробимо з розв'язувальним елементом а₂₂=1:

	y1	y2	x3
x1			-3
x2	-2
y3	-2		[8]

:8 Þ

	y1	y2	y3
x1	1/4	3/8	-3/8
x2	-1/2	1/4	3/4
x3	1/4	-1/8	1/8

Третій крок ЗЖВ можна зробити лише з розв'язувальним елементом а₃₃=8:

	y1	y2	y3
x1			-3
x2	-4
x3		-1

Обернена матриця має вигляд:

У даному прикладі не було необхідності переставляти рядки та стовпці, оскільки за розв'язувальні вибрали діагональні елементи.