Матричные игры (продолжение)

(Если игра имеет седловую точку, то после всех описанных преобразований получим игру )

Припишем строкам вероятности . Умножая этот вектор на столбцы матрицы, получаем выражения для среднего проигрыша игрока , который не превосходит цены игры :

Вводя новые переменные сумма которых равна , и учитывая, что игрок стремится понизить цену игры (минимизировать свой проигрыш), получаем (после деления каждого неравенства на ) задачу линейного программирования (ЗЛП- I ):

Аналогично,приписывая столбцам матрицы вероятности , получим (ЗЛП- II ), двойственную к (ЗЛП- I ):

Любую из этих задач можно решить одним из алгоритмов симплекс-метода, а затем, на основание теории двойственности, найти решение другой задачи.

В частности при игре с матрицей или , одна из вышеприведенной пары двойственных задач будет содержать две переменные и может быть решена графическим способом. Затем, используя соотношения дополняющей нежесткости, решается другая задача.

Игра :Приписав 1-й строке вероятность p, а 2-й – вероятность (1- p), получим n линейных сооношений, по графикам которых выберем их нижнюю огибающую. Максимум этой огибающей даст нам точку, координатами которой являются: значения вероятности p и цены игры v. Пусть эта точка является пересечением i-й и j-й прямых. Приписываем i-му столбцу вероятность q, а j-му столбцу – вероятность (1- q). Из получившейся системы уравнений находим q и (1- q).Найдем решение матричной игры:

находим q = 4/5 и (1- q) = 1/5. Оптимальная стратегия игрока В: .

Игра :Решается аналогично с той лишь разницей, что сначала решается задача для игрока В в которой ищется минимум верхней огибающей.

q =3/4, (1- q) =1/4

Ненулевые вероятности p и (1-p)

припишем 1-й и 2-й строке. Решая

полученную систему, находим

p =5/8, (1- q) =3/8

Оптимальные стратегии:

Игрок А –

Игрок В – Цена игры – 7/4