Биматричные игры

1 2 3 4 5 6

БИМАТРИЧНАЯ ИГРА 2×2: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВОЗМОЖНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКОВ

Встречаются ситуации, когда интересы игроков

не являются противоположными

. В этом случае у каждого игрока будет своя платежная матрица. Такие игры называют биматричными. Ограничимся рассмотрением биматричных игр 2×2, когда у каждого игрока всего по две стратегии:

соответственно. Матрицы игры в этом случае – квадратные матрицы 2-го порядка

СРЕДНИЕ ВЫИГРЫШИ ИГРОКОВ. РАВНОВЕСНАЯ СИТУАЦИЯ

Припишем стратегиям

вероятности

, а стратегиям

вероятности

соответственно.

Средний выигрыш игрока равен: .

Средний выигрыш игрока равен:

Пара чисел определяет равновесную ситуацию, если

для всех .

То есть отклонение от оптимальной стратегии одного из игроков при условии, что другой придерживается своей оптимальной стратегии, уменьшает средний выигрыш отклонившегося игрока.

ТЕОРЕМА НЕША

Любая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

НАХОЖДЕНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ

Введем обозначения: с учетом которых средние выигрыши игроков запишутся в виде: .

Пусть игрок придерживается своей оптимальной стратегии . Запишем условие равновесия для среднего выигрыша игрока : . Откуда получаем систему ,

решение которой дает

Аналогично, если игрок придерживается своей оптимальной стратегии, из условий равновесия для выигрыша игрока получим систему и ее решение

Изобразим обе полученные линии в координатах . Точки пересечения этих линий, лежащие в квадрате , и определяют равновесные ситуации. Для каждой равновесной ситуации определяют средние выигрыши игроков и .