2015-06-28
2085
6.1. Алгебры
Определение:
n-арная операция на множестве М – это функция типа
,
где n-арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.
Определение: Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций 
, т. е. система
.
Определение: М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.
Определение: Тип алгебры – вектор арностей операций.
Определение: Сигнатура – совокупность операций W.
Определение: Множество 
называется замкнутым относительно n-арной операции j на М, если
,
т. е. если значения j на аргументе из 
принадлежат .
Определение: Если замкнуто относительно всех операций 
, алгебры М, то система
называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на ).
Примеры:
1. Определение: Алгебра 
- называется полем действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура 
.
Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.
2. Пусть 
. Определим на 
операции: 
- «сложение по модулю р», 
- «умножение по модулю р», следующим образом:
и 
, где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а × b соответственно.
Пусть, например, р = 7, тогда 
и
.
Часто обозначают: a + b = с (mod p)
a × b = d (mod p).
Определение: Конечным полем характеристики р называется алгебра 
, если р – простое число.
3. Пусть задано множество U.
Определение: Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается 
).
Определение: Булева алгебра множеств над U – алгебра 
. Ее тип (2,2,1), сигнатура 
.
Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).
Для любого 
- является подалгеброй В.
Например, если 
, то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра 
- подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.
4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции 
вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа 
, единственная операция этой алгебры дифференцирования – унарная операция типа 
(так как производной функцией на R снова является функция на R).
Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.
5. Рассмотрим квадрат с вершинами в точках 
, пронумерованных против часовой стрелки, и повороты квадрата в том же направлении, переводящие вершины в вершины. Таких поворотов бесконечно много: на углы 0, 
, p, 
, 2p, 
,..., однако они задают всего 4 различных отображения множества вершин в себя, соответствующие первым четырем поворотам.
- поворот на углы 0, 2p, 4p,...
- поворот на углы 
- поворот на углы 0, 3p, 5p,...
- поворот на углы 
Таким образом, получаем алгебру с основным множеством 
и четырьмя унарными операциями 
(т. е. сигнатура алгебры 
, тип алгебры {1,1,1,1}. Их можно задать таблицей, в которой на пересечении строки номер 
и столбца 
написано значение функции 
.
Определение: Тождественной операцией называется операция a, отображающая любой элемент в себя. Тождественная операция соответствует нулевому повороту. Подалгебр в алгебре с одной операцией a, нет.
6. Множество 
- отображение вершин в себя из предыдущего примера (5), вместе с бинарной операцией композиции “ 
” отображений образует алгебру (L, ). Композиция отображений – это последовательное выполнение двух поворотов. Она задается таблицей. В таблице на пересечении строки a и столбца g написан результат 
.
Таблица Кэли
Определение: Такая таблица, задающая бинарную операцию, называется таблицей Кэли. Множество 
, т. е. повороты на углы 0, p образуют подалгебру алгебры 
.
