Элементы общей алгебры

6.1. Алгебры

Определение:

n-арная операция на множестве М – это функция типа

,

где n-арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.

Определение: Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций , т. е. система

.

Определение: М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.

Определение: Тип алгебры – вектор арностей операций.

Определение: Сигнатура – совокупность операций W.

Определение: Множество называется замкнутым относительно n-арной операции j на М, если

,

т. е. если значения j на аргументе из принадлежат .

Определение: Если замкнуто относительно всех операций , алгебры М, то система

называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на ).

Примеры:

1. Определение: Алгебра - называется полем действительных чисел.

Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура .

Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.

2. Пусть . Определим на операции: - «сложение по модулю р», - «умножение по модулю р», следующим образом:

и , где с и d – остатки от деления на р чисел а + b и а × b соответственно.

Пусть, например, р = 7, тогда и

.

Часто обозначают: a + b = с (mod p)

a × b = d (mod p).

Определение: Конечным полем характеристики р называется алгебра , если р – простое число.

3. Пусть задано множество U.

Определение: Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается ).

Определение: Булева алгебра множеств над U – алгебра . Ее тип (2,2,1), сигнатура .

Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).

Для любого - является подалгеброй В.

Например, если , то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра - подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.

4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции вместе с операцией дифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа , единственная операция этой алгебры дифференцирования – унарная операция типа (так как производной функцией на R снова является функция на R).

Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.

5. Рассмотрим квадрат с вершинами в точках , пронумерованных против часовой стрелки, и повороты квадрата в том же направлении, переводящие вершины в вершины. Таких поворотов бесконечно много: на углы 0, , p, , 2p, ,..., однако они задают всего 4 различных отображения множества вершин в себя, соответствующие первым четырем поворотам.

- поворот на углы 0, 2p, 4p,...

- поворот на углы

- поворот на углы 0, 3p, 5p,...

- поворот на углы

Таким образом, получаем алгебру с основным множеством и четырьмя унарными операциями (т. е. сигнатура алгебры , тип алгебры {1,1,1,1}. Их можно задать таблицей, в которой на пересечении строки номер и столбца написано значение функции .

Определение: Тождественной операцией называется операция a, отображающая любой элемент в себя. Тождественная операция соответствует нулевому повороту. Подалгебр в алгебре с одной операцией a, нет.

6. Множество - отображение вершин в себя из предыдущего примера (5), вместе с бинарной операцией композиции “ ” отображений образует алгебру (L, ). Композиция отображений – это последовательное выполнение двух поворотов. Она задается таблицей. В таблице на пересечении строки a и столбца g написан результат .

Таблица Кэли

Определение: Такая таблица, задающая бинарную операцию, называется таблицей Кэли. Множество , т. е. повороты на углы 0, p образуют подалгебру алгебры .