Классы эквивалентности

Пусть на множестве М задано отношение эквивалентности R. Осуществим построение классов эквивалентности, на которые разбивается множество М этим отношением.

Выберем элемент и образуем класс (подмножество М) , состоящий из и всех элементов, эквивалентных ; затем выберем элемент , и образуем класс , состоящий из и всех элементов, эквивалентных и т. д. Получится система классов (возможно бесконечная) такая, что любой элемент из М входит хотя бы в один класс, т. е. .

Эта система обладает свойствами:

1) она образует разбиение, т. е. классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны.

Определение: Мощность системы классов эквивалентности называется индексом разбиения.

С другой стороны, любое разбиение М на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно: “входить в один и тот же класс данного разбиения”.

Пример:

а) все классы эквивалентности по отношению равенства Е состоят из одного элемента;

б) формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В этом примере счетно само множество формул, множество классов эквивалентности (т. е. индекс разбиения) и любой класс эквивалентности тоже счетное множество;

в) разбиение множества треугольников по отношению конгруэнтности имеет континуальный индекс, любой класс также имеет мощность континуума;

г) разбиение N по отношению “иметь общий остаток от деления на 7” имеет конечный индекс 7 и состоит из 7 счетных классов.

0, 7, 14, 21, 28,...; 1, 8, 15, 22, 29,...;...; 6, 13, 20, 27,...