Листинг 77

>>Рeшение системы методом Гаусса

>> А=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2);

>>b=[0;1;4];

>> C=rref([A b])%Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

С =

1.0000 0 0 0.4643
О 1.0000 0 1.6786

0 0 1.0000 0.7500
>> х=С(1:3,4:4)%Выделение последнего столбца из матрицы
х = %Решение системы
0.4643
1.6786
0.7500
>> А*х %Проверка

ans =

Собственные значения и собственные векторы

Пусть А - матрица размерностью п* п. Любой ненулевой вектор х, принадлежа­щий некоторому векторному пространству, для которого Ах = λ х, где λ - неко­торое число, называется собственным вектором матрицы А, а λ- принадлежащим ему или соответствующим ему собственным значением матрицы А.

Уравнение Ах = λх эквивалентно уравнению (А - λ * Е)х = 0. Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются ис­комыми собственными векторами. Она имеет нетривиальные решения, толь­ко когда r(А - λ * Е) < п, то есть, если det (A - λ * Е) = 0.

Многочлен det(A - λ * Е) называется характеристическим многочленом матри­цы А, а уравнение det(A - λ * Е) = 0 - характеристическим уравнением матрицы А. Если λ_i - собственные значения А, то нетривиальные решения однородной си­стемы линейных уравнений (А – λ* Е) = 0 есть собственные векторы А, при­надлежащие собственному значению λ_i. Множество решений этой системы уравнений называют собственным подпространством матрицы А, принадлежа­щим собственному значению λ_i, каждый ненулевой вектор собственного под­пространства является собственным вектором матрицы А.

Иногда требуется найти собственные векторы у и собственные значения μ, определяемые соотношением Ay = μ By(y≠ 0), где В - невырожденная матрица. Векторы у и числа т обязательно являются собственными векторами и соб­ственными значениями матрицы B^{-1 A}. Пусть А = {а_ij} и В= {b_ij}, причем матри­ца В является положительно определенной, тогда собственные значения т со­впадают с корнями уравнения n-й степени det(A - μ B) = det(a _ij – μ b_ij) = 0.

Это уравнение называют характеристическим уравнением для обобщенной задачи о собственных значениях. Для каждого корня μ кратности т существует ровно т линейно независимых собственных векторов у.

Задача 10.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.

>>А=[5 2 -1;1 -3 2; 4 5 -3];
>> Вектор собственных значений матрицы
>> eig(A)
ans =
4.9083
-0.0000
-5.9083
>> [L, D]=eig(A)
L =%Матрица собственных векторов
-0.7961 -0.0493 0.1813

-0.2410 0.5426 -0.5988

-0.5551 0.8385 0.7801

D = %Диагональная матрица собственных значений
4.9083 0 0

О -0.0000 0

О 0 -5.9083

>>Проверка

>> (A-D(l,l)*eye(3))*L(:,l)

ans =

1.0е-015 *

0.1110

0.8882

-0.8882

>>(A-D(2,2)*eye(3))*L(:,2)

ans =

1.0e-015 *

-0.8882

0.8882

-0.8882

>> (A-D(3,3)*eye(3))*L(:,3)

ans =

1.0e-014 *

0.1776

0.0444