2015-06-28
531
| xi \ yj | 2 | ||
| |||
| |||
|
Случайный вектор дискретного типа, следовательно, F (x, y) = 
.
| F (x, y) | y ≤ 0 | 0 < y ≤ 1 | 1 < y ≤ 2 | y > 2 |
| x ≤ 0 | ||||
| 0 < x ≤ 1 |
| |||
| 1 < x ≤ 2 |
| +
| ||
| x > 2 |
| +
| + + = 1
|
Пояснение: 
.
= 
.
= 
.
.
Ковариация, корреляция. Линии регрессии
Особую роль при исследовании системы играет второй смешанный центральный момент.
Определение 16. Второй смешанный центральный момент μ11 называется корреляционным или моментом связи или ковариацией:
.
для СВДТ.
для СВНТ.
Теория корреляции решает две задачи: 1) установление формы связи между случайными величинами, 2) определение тесноты и силы этой связи.
, помимо рассеивания, характеризует взаимное влияние случайных величин X и Y, входящих в систему. Для оценки степени влияния используется не сам момент, а безразмерное соотношение, которое называется нормированной ковариацией или коэффициентом корреляции:
–
коэффициент корреляции двух случайных компонент X и Y случайного вектора.
(Иногда его обозначают как 
).
Средние квадратические отклонения случайных величин Х и У равны 
, 
.
Определение 17. X и Y называются некоррелированными случайными величинами, если их коэффициент корреляции 
, и коррелированными, если отличен от нуля.
Свойства коэффициента корреляции 
:
1. Если X и Y – независимые СВ, то = 
. (X и Y некоррелированные случайные величины). Обратное утверждение неверно, так как X и Y могут быть зависимыми, но при этом .
2. 
.
3. В случае 
говорят о положительной корреляции Х и Y, что означает: при возрастании одной из них другая тоже имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека.
4. В случае 
говорят об отрицательной корреляции Х и Y, что означает: при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на подготовку прибора к работе и количество неисправностей, обнаруженных при его работе.
Взаимная связь двух случайных величин, помимо , может быть описана с помощью линий регрессии. Действительно, хотя при каждом значении Х = x величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеивание своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается часто в изменении средних размеров Y при переходе от одного значения х к другому. С изменением х будет изменяться и 
. Это означает, что можно рассматривать функцию 
= , областью определения которой является множество возможных значений случайной величины Х. Эта функция носит название регрессии Y по Х.
Аналогично, зависимость X от Y описывает функция 
= 
.
и 
– уравнения регрессии
Линии, определенные этими уравнениями, называются кривыми или линиями регрессии. (Вводятся лишь для непрерывных СВ, для ДСВ линии будут состоять из точек.)
Если обе линии регрессии – прямые, то корреляционную зависимость называют линейной (линейная корреляция). Для нормально распределенного случайного вектора (X, Y) уравнения регрессии линейные: 
, 
.
Связь коэффициента корреляции и линий регрессии
1) Если 
, то линии регрессии наклонены вправо.
2) Если 
, то линии регрессии наклонены влево.
3) Если , то линии регрессии проходят параллельно осям координат.
4) Если, 
, то линии регрессии сливаются в одну линию, а случайные величины X и Y связаны между собой линейной функциональной зависимостью 
, 
, причем знак коэффициента корреляции (+ rХУ) или (– rХУ) берется в зависимости от знака (+ или –) коэффициента а, который называется коэффициентом регрессии.
Часто пишут уравнение в виде: 
и называют его уравнением парной регрессии, где коэффициент регрессии 
.
Определение 18. Ковариационной матрицей случайного вектора называется симметрическая действительная матрица, элемент которой представляет собой ковариации соответствующих пар компонент: 
.
Определение 19. Корреляционной матрицей случайного вектора называется нормированная ковариационная матрица 
.
Пример 14. Дано уравнение парной регрессии 
. Выберите правильный коэффициент корреляции: 1) = 0,6, 2) = – 0,6, 3) =1,2.
