Совместная функция распределения

Рассмотрим на одном и том же вероятностном пространстве (, F, P) несколько случайных величин . Так как множества , т.е. являются событиями, то и их пересечение . Поэтому существует вероятность этого события.

Определение. Многомерной функцией распределения называется вероятность события :

.

В дальнейшем изложении ограничимся случаем двух случайных величин . Поэтому будем рассматривать .

Замечание 1. Геометрически значение – это вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной (на рис. 2.2.1 этот квадрант показан штриховкой).

Замечание 2. С помощью , можно вычислять вероятности попадания случайной точки в полуполосу или в прямоугольник:

а) (рис. 2.2.2 а);

б) (рис. 2.2.2 б);

в)

(рис. 2.2.2 в);

а б в

Рис. 2.2.2.

Пример 2.2.3. Дана двумерная функция распределения: , где , . Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .

Решение.

.

Ответ: .

Из формулы вычисления вероятности попадания в прямоугольник и определения многомерной функции распределения , вытекают ее свойства, которые доказываются аналогично одномерному случаю:

1. по каждому аргументу не убывает и непрерывна слева.

2. .

3. .

4. а) При двумерная функция распределения становится функцией распределения компоненты X: .

б) При двумерная функция распределения становится функцией распределения компоненты Y: .