2015-06-28
1736
Рассмотрим на одном и том же вероятностном пространстве (
, F, P) несколько случайных величин 
. Так как множества 
, т.е. являются событиями, то и их пересечение 
. Поэтому существует вероятность этого события.
Определение. Многомерной функцией распределения 
называется вероятность события 
:
.
В дальнейшем изложении ограничимся случаем двух случайных величин 
. Поэтому будем рассматривать 
.
Замечание 1. Геометрически значение 
– это вероятность попадания случайной точки 
в бесконечный квадрант с вершиной 
(на рис. 2.2.1 этот квадрант показан штриховкой).
Замечание 2. С помощью , можно вычислять вероятности попадания случайной точки в полуполосу или в прямоугольник:
а) 
(рис. 2.2.2 а);
б) 
(рис. 2.2.2 б);
в) 
(рис. 2.2.2 в);
а б в
Рис. 2.2.2.
Пример 2.2.3. Дана двумерная функция распределения: 
, где 
, 
. Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми 
, 
, 
, 
.
Решение. 
.
Ответ: 
.
Из формулы вычисления вероятности попадания в прямоугольник и определения многомерной функции распределения , вытекают ее свойства, которые доказываются аналогично одномерному случаю:
|
|
|
1. по каждому аргументу не убывает и непрерывна слева.
2. 
.
3. 
.
4. а) При 
двумерная функция распределения становится функцией распределения компоненты X: 
.
б) При 
двумерная функция распределения становится функцией распределения компоненты Y: 
.
