Непрерывные двумерные случайные величины

Определение. Неотрицательная кусочно-непрерывная функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной случайной величины , если

,

где использована символическая запись для двойного интеграла по области . Такая двумерная случайная величина называется непрерывной.

Функция плотности обладает следующими свойствами:

1. для всех .

2. во всех точках непрерывности функции .

3. (условие нормировки).

4. , где – прямоугольник на плоскости .

5. , где D – произвольная квадрируемая область на плоскости .

6. , , где , – функции распределения компонент X и Y.

7. , , где , – функции плотности распределения компонент X и Y.

Пример 2.2.6. Известна функция плотности двумерного случайного вектора :

, .

Составить функцию распределения .

Решение. По определению функции распределения

,

поэтому:

.

Ответ: .

Пример 2.2.7. Найти плотность распределения двумерного случайного вектора , если известна функция распределения

Решение. Согласно свойству 2 во всех точках непрерывности функции . Поэтому

Ответ:

Пример 2.2.8 (двумерное равномерное распределение). Плотность равномерного распределения на области конечной двумерной площади :

Вероятность в этом случае определяется отношением площадей и S (рис. 2.2.4):

.

Замечание. По последней формуле вычисляются так называемые геометрические вероятности.

Пример 2.2.9. Двумерный случайный вектор подчинен закону распределения с плотностью

Область D – треугольник, ограниченный прямыми , , . Найти коэффициент а.

Решение. Согласно условию нормировки . Поскольку только в области D подынтегральная функция отлична от нуля, то имеем уравнение

, или .

Тогда

.

Отсюда, решая уравнение , получим .

Ответ: .

Пример 2.2.10. Известна функция плотности двумерного случайного вектора (рис. 2.2.5):

Найти плотности распределения и компонент X и Y.

Решение. Очевидно, что если , то . Пусть , тогда:

.

Итак,

Аналогично

Ответ: