2015-06-28
2376
Определение. Неотрицательная кусочно-непрерывная функция 
называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной случайной величины 
, если
,
где использована символическая запись для двойного интеграла по области 
. Такая двумерная случайная величина называется непрерывной.
Функция плотности обладает следующими свойствами:
1. 
для всех 
.
2. 
во всех точках непрерывности функции .
3. 
(условие нормировки).
4. 
, где 
– прямоугольник на плоскости 
.
5. 
, где D – произвольная квадрируемая область на плоскости .
6. 
, 
, где 
, 
– функции распределения компонент X и Y.
7. 
, 
, где 
, 
– функции плотности распределения компонент X и Y.
Пример 2.2.6. Известна функция плотности двумерного случайного вектора :
, .
Составить функцию распределения 
.
Решение. По определению функции распределения
,
поэтому:
.
Ответ: 
.
Пример 2.2.7. Найти плотность распределения двумерного случайного вектора , если известна функция распределения
Решение. Согласно свойству 2 во всех точках непрерывности функции . Поэтому
Ответ:
Пример 2.2.8 (двумерное равномерное распределение). Плотность равномерного распределения на области 
конечной двумерной площади 
:
Вероятность 
в этом случае определяется отношением площадей 
и S (рис. 2.2.4):
.
Замечание. По последней формуле вычисляются так называемые геометрические вероятности.
Пример 2.2.9. Двумерный случайный вектор подчинен закону распределения с плотностью
Область D – треугольник, ограниченный прямыми 
, 
, 
. Найти коэффициент а.
Решение. Согласно условию нормировки 
. Поскольку только в области D подынтегральная функция отлична от нуля, то имеем уравнение
, или 
.
Тогда
.
Отсюда, решая уравнение 
, получим 
.
Ответ: .
Пример 2.2.10. Известна функция плотности двумерного случайного вектора (рис. 2.2.5):
Найти плотности распределения 
и 
компонент X и Y.
Решение. Очевидно, что если 
, то 
. Пусть 
, тогда:
.
Итак, 
Аналогично 
Ответ: 
