Определение. Неотрицательная кусочно-непрерывная функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной случайной величины , если
,
где использована символическая запись для двойного интеграла по области . Такая двумерная случайная величина называется непрерывной.
Функция плотности обладает следующими свойствами:
1. для всех .
2. во всех точках непрерывности функции .
3. (условие нормировки).
4. , где – прямоугольник на плоскости .
5. , где D – произвольная квадрируемая область на плоскости .
6. , , где , – функции распределения компонент X и Y.
7. , , где , – функции плотности распределения компонент X и Y.
Пример 2.2.6. Известна функция плотности двумерного случайного вектора :
, .
Составить функцию распределения .
Решение. По определению функции распределения
,
поэтому:
.
Ответ: .
Пример 2.2.7. Найти плотность распределения двумерного случайного вектора , если известна функция распределения
Решение. Согласно свойству 2 во всех точках непрерывности функции . Поэтому
|
|
Ответ:
Пример 2.2.8 (двумерное равномерное распределение). Плотность равномерного распределения на области конечной двумерной площади :
Вероятность в этом случае определяется отношением площадей и S (рис. 2.2.4):
.
Замечание. По последней формуле вычисляются так называемые геометрические вероятности.
Пример 2.2.9. Двумерный случайный вектор подчинен закону распределения с плотностью
Область D – треугольник, ограниченный прямыми , , . Найти коэффициент а.
Решение. Согласно условию нормировки . Поскольку только в области D подынтегральная функция отлична от нуля, то имеем уравнение
, или .
Тогда
.
Отсюда, решая уравнение , получим .
Ответ: .
Пример 2.2.10. Известна функция плотности двумерного случайного вектора (рис. 2.2.5):
Найти плотности распределения и компонент X и Y.
Решение. Очевидно, что если , то . Пусть , тогда:
.
Итак,
Аналогично
Ответ: