Являются ли формулы тождественно истинными:
1)
2) (
3) (x Þ y) Þ ((x Ú z) Þ y Ú z).
3.4. Алгебра Буля
Непустое множество U с тремя операциями +, , (сложение, умножение, дополнение) называется алгеброй Буля, если выполняются следующие условия:
1) a + b = b + a, ab = ba, " a, b Î U;
2) " a, b Î U;
3) (дистрибутивность сложения относительно умножения и умножения относительно сложения);
4) т.е. все элементы являются идемпотентами по отношения к обеим операциям;
5) законы двойственности де Моргана;
6)
Нейтральный элемент 1 операции умножения называется универсальным элементом алгебры Буля.
Примеры.
1) , где + = È, = дополнение, 0 = Æ, 1 =
2) Алгебра высказываний, + = Ú, = &, – отрицание.
3) Контакты электрических сетей, если трактовать + как параллельное соединение контактов, последовательное соединение контактов, 1 – есть ток в цепи, 0 – нет тока в цепи, – размыкание контакта x.
4) {0; 1}, a + b = max { a, b }, = min { a, b },
5) Множество делителей числа n, если a + b = НОК (a, b),
= НОД (a, b),
6) Сегмент [ , y ], где a + b = max { a, b }, = min { a, b }, – точка, симметрическая с точкой а относительно середины сегмента.
|
|
3.5. Эквивалентные формулы
Формулы алгебры логики и называются эквивалентными, если на всяком наборе значений переменных (входящих хотя бы в одну из формул и ) значения функций и совпадают, т.е. если Приведем основные эквивалентности.
1) (законы коммутативности).
2)
3) (законы дистрибутивности).
4) (законы двойственности де Моргана).
5) (правила склеивания).
6) (правила поглощения).
7) (правило обобщенного склеивания).
8) & = , Ú = (законы идемпотентности).
9) Ú 0 = , &1 = , Ú 1 = 1, = , ( ( Û1)= , (свойства относительно констант).
10) (закон исключенного третьего).
11) & = 0 (закон противоречия).
12) (унипотентности).
13) (закон двойного отрицания).
14)
15) (замена импликации).
(замена эквиваленции).
Для примера докажем свойство замены импликации: составим расчетную таблицу, в которую включаются все промежуточные вычисления.
Таблица 3.6
Столбцы значений для функций и совпали, т.е. функции равны. Аналогично доказываются другие эквивалентности. Некоторые из формул можно доказывать алгебраически с помощью уже доказанных свойств. Например, для доказательства эквивалентности воспользуемся тем, что , . Отсюда
Эквивалентные формулы используются при упрощении формул. Например, упростим . По правилу склеивания . К дизъюнкции применим тождественное преобразование , получим . Аналогично . Поэтому
3.6. Элементарная конъюнкция. Элементарная дизъюнкция
|
|
В силу ассоциативности конъюнкции в выражениях и
скобки можно не писать, поэтому считаем запись имеющей смысл. Индуктивно получает смысл запись Аналогично, считаем имеющей смысл и запись Ú Ú…Ú (т.е. из двуместных операций получены с помощью свойства ассоциативности n -местные). Будем полагать, что
Выражение будем называть буквой, а &…& – конъюнкцией букв, Ú…Ú – дизъюнкцией букв.
ТЕОРЕМА. Конъюнкция букв тождественно ложна тогда и только тогда, когда в нее входит хотя бы одна переменная вместе со своим отрицанием.
Доказательство. Þ Пусть конъюнкция букв тождественно ложна, но такой переменной в ней нет. Придадим переменным, которые входят в эту конъюнкцию, значение 1, а тем переменным, которые входят в нее под знаком отрицания, 0. На этом наборе значений переменных конъюнкция примет значение 1, а это противоречит условию, т.е. наше предположение неверно.
Ü Пусть в конъюнкцию К входит переменная t вместе со своим отрицанием. Применив закон коммутативности конъюнкции, мы приведем ее к виду <
ТЕОРЕМА. Дизъюнкция букв тождественно истинна тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна переменная, которая входит в нее вместе со своим отрицанием.
Доказывается аналогично.
Конъюнкция букв называется элементарной, если все переменные, входящие в ее различные буквы, различны. Дизъюнкция букв называется элементарной, если все переменные, входящие в ее различные буквы, различны. Количество букв, входящих в элементарную конъюнкцию (ЭК) или элементарную дизъюнкцию (ЭД), называется рангом ЭК или ЭД соответственно. Число 1 считается ЭК ранга 0. Буква считается ЭК или ЭД ранга 1. Число 0 считается ЭД ранга 0. Любую конъюнкцию букв, не являющуюся тождественно ложной, можно привести к виду элементарной, а любую дизъюнкцию букв, не являющуюся тождественно истинной, можно привести к виду элементарной также. Для этого надо применить свойства коммутативности, идемпотентности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.