2015-06-28
965
Являются ли формулы тождественно истинными:
1) 
2) (
3) (x Þ y) Þ ((x Ú z) Þ y Ú z).
3.4. Алгебра Буля
Непустое множество U с тремя операциями +, 
, 
(сложение, умножение, дополнение) называется алгеброй Буля, если выполняются следующие условия:
1) a + b = b + a, ab = ba, " a, b Î U;
2) 
" a, b Î U;
3) 
(дистрибутивность сложения относительно умножения и умножения относительно сложения);
4) 
т.е. все элементы являются идемпотентами по отношения к обеим операциям;
5) 
законы двойственности де Моргана;
6) 
Нейтральный элемент 1 операции умножения называется универсальным элементом алгебры Буля.
Примеры.
1) 
, где + = È, 
= дополнение, 0 = Æ, 1 = 
2) Алгебра высказываний, + = Ú, = &, – отрицание.
3) Контакты электрических сетей, если трактовать + как параллельное соединение контактов, 
последовательное соединение контактов, 1 – есть ток в цепи, 0 – нет тока в цепи, 
– размыкание контакта x.
4) {0; 1}, a + b = max { a, b }, 
= min { a, b }, 
5) Множество делителей числа n, если a + b = НОК (a, b),
= НОД (a, b), 
6) Сегмент [ 
, y ], где a + b = max { a, b }, = min { a, b }, 
– точка, симметрическая с точкой а относительно середины сегмента.
3.5. Эквивалентные формулы
Формулы алгебры логики 
и 
называются эквивалентными, если на всяком наборе значений переменных (входящих хотя бы в одну из формул и ) значения функций 
и 
совпадают, т.е. если 
Приведем основные эквивалентности.
1) 
(законы коммутативности).
2) 
3) 
(законы дистрибутивности).
4) 
(законы двойственности де Моргана).
5) 
(правила склеивания).
6) 
(правила поглощения).
7) 
(правило обобщенного склеивания).
8) & = , Ú = (законы идемпотентности).
9) 
Ú 0 = 
, &1 = , Ú 1 = 1, 
= 
, (
( Û1)= , 
(свойства относительно констант).
10) 
(закон исключенного третьего).
11) & 
= 0 (закон противоречия).
12) 
(унипотентности).
13) 
(закон двойного отрицания).
14) 
15) 
(замена импликации).
(замена эквиваленции).
Для примера докажем свойство замены импликации: составим расчетную таблицу, в которую включаются все промежуточные вычисления.
Таблица 3.6
 |  | |  |  |
Столбцы значений для функций 
и 
совпали, т.е. функции равны. Аналогично доказываются другие эквивалентности. Некоторые из формул можно доказывать алгебраически с помощью уже доказанных свойств. Например, для доказательства эквивалентности 
воспользуемся тем, что 
, 
. Отсюда
Эквивалентные формулы используются при упрощении формул. Например, упростим 
. По правилу склеивания 
. К дизъюнкции 
применим тождественное преобразование 
, получим 
. Аналогично 
. Поэтому 
3.6. Элементарная конъюнкция. Элементарная дизъюнкция
В силу ассоциативности конъюнкции в выражениях 
и
скобки можно не писать, поэтому считаем запись 
имеющей смысл. Индуктивно получает смысл запись 
Аналогично, считаем имеющей смысл и запись 
Ú Ú…Ú 
(т.е. из двуместных операций получены с помощью свойства ассоциативности n -местные). Будем полагать, что
Выражение 
будем называть буквой, а 
&…& 
– конъюнкцией букв, Ú…Ú – дизъюнкцией букв.
ТЕОРЕМА. Конъюнкция букв тождественно ложна тогда и только тогда, когда в нее входит хотя бы одна переменная вместе со своим отрицанием.
Доказательство. Þ Пусть конъюнкция букв тождественно ложна, но такой переменной в ней нет. Придадим переменным, которые входят в эту конъюнкцию, значение 1, а тем переменным, которые входят в нее под знаком отрицания, 0. На этом наборе значений переменных конъюнкция примет значение 1, а это противоречит условию, т.е. наше предположение неверно.
Ü Пусть в конъюнкцию К входит переменная t вместе со своим отрицанием. Применив закон коммутативности конъюнкции, мы приведем ее к виду 
<
ТЕОРЕМА. Дизъюнкция букв тождественно истинна тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна переменная, которая входит в нее вместе со своим отрицанием.
Доказывается аналогично.
Конъюнкция букв называется элементарной, если все переменные, входящие в ее различные буквы, различны. Дизъюнкция букв называется элементарной, если все переменные, входящие в ее различные буквы, различны. Количество букв, входящих в элементарную конъюнкцию (ЭК) или элементарную дизъюнкцию (ЭД), называется рангом ЭК или ЭД соответственно. Число 1 считается ЭК ранга 0. Буква считается ЭК или ЭД ранга 1. Число 0 считается ЭД ранга 0. Любую конъюнкцию букв, не являющуюся тождественно ложной, можно привести к виду элементарной, а любую дизъюнкцию букв, не являющуюся тождественно истинной, можно привести к виду элементарной также. Для этого надо применить свойства коммутативности, идемпотентности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.
