Математические модели объектов диагностики

Формальное описание технического объекта называют матема­тической моделью. Это описание может быть сделано в аналитиче­ской, табличной, графической или иной форме. Объект может быть представлен как некоторая динамическая система, состояние которой может изменяться в каждый момент времени, определяемый вход­ными, внутренними и выходными координатами. Объекты можно по характеру переменных делить на непрерывные, дискретные и гиб­ридные. Кроме этого, объекты делятся на объекты с памятью и объ­екты без памяти. В последнем случае выходные координаты объекта определяются только входными в данный момент времени [4].

Итак, пусть X – n -мерный вектор входных параметров х₁,..., х_п, Y - m -мерный вектор внутренних переменных у₁,…,y_m и Z- k -мерный вектор выходных функций z₁,...,z_k. Тогда выражение

(4.1)

является математической моделью исправного объекта.

Неисправности объекта S разделяются на одиночные, т.е. те, ко­торые нельзя представить совокупностью других, более мелких, и кратные, которые представляют собой совокупность одиночных не­исправностей.

Будем говорить, что при наличии одиночной неисправности S_i, (S_i Î S) объект находится в i- неисправном состоянии.

Тогда

(4.2)

Это выражение является моделью i -неисправного объекта.

Условимся обозначать значком * фактически реализуемую неис­правным объектом математическую модель, т.е. (4.3)

Совокупность системы (4.1) и систем для всех S_i Î S образует яв­ную модель объекта диагностирования. Обозначим такую модель записью (ψ, {ψ*}).

Очень часто в явном виде задается только модель исправного объекта, а вместо уравнений типа (4.2) поведение объекта в i - неисправном состоянии представить косвенно через множество S возможных неисправностей. В этом случае получается неявная мо­дель, образованная уравнением (4.1), множеством S, и способом вы­числения уравнения (4.2) для любой S_i.

Если математическая модель неисправностей известна для всех S_i Î S, то можно получить все зависимости типа (4.2), т.е. перейти к модели (ψ, {ψ*}).

Пусть на элементарные проверки π_j, j=1...n ответом объекта будет Rⁱj (здесь i - состояние объекта, a j - номер элементарной проверки). Тогда для исправного объекта R_J=ψ(π_j), а для исправного Rⁱ_J=ψ(π_j). Описанию фактического поведения объекта соответст­вует запись R*j = ψ*'(π_j).

Таблица функций неисправностей (ТФН)

Явную математическую модель можно (ψ, {ψ*}) представить в табличной форме (табл. 4.1). В ней Е - множество технических со­стояний объекта е _i Î Е. Каждому неисправному состоянию соответ­ствует неисправность S_i Î S (и наоборот). R – множество всех результатов проверок π_jÎП. Очевидно, что R=П(S+1).

Таблица 4.1

Будем считать, что множество П обладает, во-первых, свойством обнаружения любой неисправности, представленной в табл. 4.1, и, во-вторых, способностью различать все эти неисправности, т.е. для каждой пары S_i,S_k Î S найдется хотя бы одна такая, что Rⁱ_j≠ R^k_j.

Очевидно, что для сложного объекта такая таблица окажется слишком большой и вызовет ряд затруднений при вычислении. Для уменьшения размеров таблицы можно в множество S включить толь­ко подозреваемые или наиболее вероятные неисправности (обраба­тывая статистику отказов работоспособности данного объекта).

Каждому неисправному состоянию е, соответствует неисправ­ность S_h поэтому возможно построение такой таблицы, в которой вместо набора технических состояний объекта R будет фигурировать набор неисправностей S.

Если учитывать не только одиночные, но и множественные неис­правности, то объем таблицы и алгоритмические затруднения при вычислениях возрастут. Но так как множественная неисправность есть сумма однократных, процесс обнаружения множественных не­исправностей есть совокупность процессов обнаружения и устране­ния одиночных неисправностей. Поэтому, составляя таблицу функ­ций неисправностей в принципе можно ограничиться одиночными.

Если в таблице окажутся два одинаковых столбца, то это означа­ет, что эти два технических состояния (две неисправности) при дан­ном наборе П неразличимы и один из столбцов можно удалить.

Если в таблице две строки будут одинаковы, то это означает, что одну из этих двух элементарных проверок можно исключить.

Обычно задается требуемая глубина диагностирования, т.е. мно­жество Е. Минимальная глубина l = 2, т.е. Е₁= е и Е₂ - все осталь­ные е₁ максимальная глубина l= S+1, т.е. Е₁ = е и E₂ = S₁,..., E_{s+ 1} = e_s. Часто глубина диагностирования определяется конструк­тивными особенностями объекта, например числом блоков объекта.

Приведем простейшие примеры построения ТФН для логических элементов серии TTJI.

Рассмотрим элемент ИЛИ - НЕ, имеющий два входа (рис. 21). Будем предполагать наличие следующих неисправностей:

Рис.21 Двухходовой элемент ИЛИ-НЕ: 1,2 – входы схемы; 3- выход

S₁ - обрыв входа «1» схемы;

S₂ - обрыв входа «2» схемы;

S₃ - обрыв выхода «3» схемы;

S₄ - короткое замыкание входов «1» и «2»;

S₅ - замыкание на «землю» входа «1»;

S₆ - замыкание на «землю» входа «2»;

S₇ - замыкание на «землю» выхода «3».

На основе свойств ТТЛ схем фиксируется обрыв входа схемы как подача на этот вход логической единицы, а замыкание на «землю» равносильно подаче нуля. Так как схема реализует операцию ИЛИ, получим следующую ТФН (табл. 4.2).

Таблица 4.2

На основании табл. 4.2 можно сделать следующие выводы:

1. Неразличимы неисправности S₁ и S₂, а также S₃ и S₄. Следова­тельно, S₂ и S₇ можно исключить из таблицы (табл. 4.3). Таблица 4.3

2. Из оставшейся части таблицы видно, что набор π₁ обнаруживает дефектS₁ набор π₂ обнаруживает дефектыS₃, S₄ иS₆, а набор π₃ обна­руживает дефекты S₃, S₄ иS₅. Таким образом, для проверки работо­способности схемы необходимо провести три испытания π_1, π₂ и π_3. Набор π₄ является избыточным (см. табл. 4.3.)

Отметим также, что неисправностьS₃ (обрыв у вывода) вольтмет­ром фиксируется на «0». Но если изменить схему индикации выхода (рис.22), включив светодиод, то при обрыве выхода будет фиксиро­ваться «1» (светодиод горит), хотя в остальных случаях показания вольтметра и светодиода будут совпадать.

Рис. 22 Индикация выхода схемы ИЛИ с помощью фотодиоида

Обнаружить вид неисправности при помощи всех П { π_1, π_2, π_3, π₄ } не представляется возможным, так как при четырех испытаниях можно получить log₂ 4 = 2 бита информации, а начальная неопреде­ленность объекта (8 состояний, включая исправное) равна log₂ 8 = 3. На этом примере можно также проиллюстрировать понятие «модель ошибок». Как видно из табл. 4.3, из-за внутренних неисправностей параметр выхода может принимать следующие значения: f₁ =0, f₂ =x₁, f₃ =x₂. f₄ =1. F5=x₁x_2. Можно ввести понятие «модели ошибок элемента ИЛИ» F₁(f)={ f₁f₂f₃f₄f₅ },где f₀ - нормальная функция, а f_1,,f_2,f_3,f_4,f₅ - функции ошибок модели ошибок F(f). Особенно часто встречаются ошибки типа «константа 0» и «константа 1», которые возникают при замыкании на землю или обрыве соответствующего входа или выхо­да схемы. Если суммарная вероятность ошибок f_2,f₃, и f₅ мала, т.е., Prob(f_1,,f₄)>>Prob(_,,f_2,f_3,,f₅) то на практике можно пользоваться упро­щенной моделью F₁(f)= { _,f_0,,f_1,f₄ }.