Р е ш е н и е

Рассмотрим отношение xn +1 xn =2 n +1 n!(n +1)!2 n =2 n +1. Очевидно, что при n ≥2 справедливы неравенства xn +1 xn ≤23˂1. Следовательно, xn +1˂ xn при n ≥2, т.е. данная последовательность убывает начиная с n =2.

Определение 2.3.

Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если ∃ M∈R: xn≤M ∀n∈N. (см. определение 1.17 ).

Определение 2.4.

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если ∃ m∈R: xn≥m ∀n∈N. (см. определение 1.18 ).

Определение 2.5.

Последовательность {xn} называется ограниченной, если ∃c>0, c∈R: |xn|≤c ∀n∈.

Например, последовательность {− n }={−1,−2,−3,…} ограничена сверху, так как xn =− n ˂0 ∀ n ∈N (M =0). Последовательность { n }={1,2,3,…} ограничена снизу, так как xn = n ≥1 ∀ n ∈N (m =1). Последовательность {1 n }={1,12,13,…} ограничена, так как 0˂1 n ≤1, или ∣∣1 n ∣∣≤1, ∀ n ∈N (c =1).

Определение 2.6.

Пусть задана произвольная последовательность {xn}. Тогда любая последовательность {xnk}={xn1, xn2, xn3, …} из элементов xn, где nk образует возрастающую последовательность натуральных чисел (nk∈N, n1 ˂ n2 ˂ n3 ˂ …), называется подпоследовательностью исходной последовательности {xn}.