Пример 2. 3. Последовательность {xn}, имеющая конечный предел a, называется сходящейся

Доказать, что lim n →∞ n 2−1 n =∞.

Р е ш е н и е.

Для доказательства, согласно определению 2.8, требуется для произвольно заданного числа M >0 найти номер n 0>1 такой, что при всех n > n 0 выполнялось бы неравенство ∣∣ n 2−1 n ∣∣> M. Из этого неравенства находим: n 2−1 n > M, n 2− Mn −1>0. Отсюда заключаем, что если принять n 0(M)=[ M + M 2+4√2]>1, то при всех n > n 0 будут справедливы неравенства: n > M + M 2+42, n 2− Mn −1>0, n 2−1 n > M, ∣∣ n 2−1 n ∣∣> M (n ∈N, n >1). Таким образом, по определению 2.8, lim n →∞ n 2−1 n =∞, что и требовалось доказать.

Рассмотрим последовательность { xn }, где

xn =⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1 n,2 n +1 n, n =2 k;  n =2 k −1, k =1,2,…

(см. пример 2.2). Очевидно, что

xn ={0,2, n =2 k;  n =2 k −1, k =1,2,…,

т.е. xn не стремится к какому-либо числу при n →∞. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Определение 2.11.

Последовательность {xn}, имеющая конечный предел a, называется сходящейся.

В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу a.

Так, последовательность { xn }={2 n +1 n } сходится к числу a =2, так как lim n →∞2 n +1 n =2 (см. пример 2.2).

Определение 2.12.

Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся.

Например, последовательности { xn }={ n 2} и { xn }={(−1) n } — расходящиеся, так как lim n →∞ n 2=∞, lim n →∞(−1) n не существует.

Свойства сходящихся последовательностей

Приведём основные теоремы о сходящихся последовательностях.

Теорема 2.1. (о единственности предела)

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2.2. (об ограниченности сходящейся последовательности)

Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 2.3.

Если lim n →∞ xn = a, lim n →∞ yn = b и xn ≤ yn ∀ n ∈N, то a ≤ b.

Теорема 2.4. (о промежуточных значениях)

Если lim n →∞ xn =lim n →∞ yn = a и xn ≤ zn ≤ yn ∀ n ∈N, то и lim n →∞ zn = a.

Теорема 2.5. (о сходимости монотонной ограниченной последовательности)

Всякая неубывающая (невозрастающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность сходится.

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е. последовательность может сходиться и не быть монотонной.

Например, последовательность { xn }={(−1) nn } сходится, так как lim n →∞ xn =0, что можно установить исходя из определения 2.7. Однако эта последовательность не является монотонной.

Замечание 2.1.

Теорема 2.5 остаётся в силе для последовательности, ограниченной сверху (снизу) и неубывающей (невозрастающей) начиная с некоторого номера.

Теорема 2.6. (о сходимости подпоследовательности)

Если последовательность { xn } сходится к числу a, то любая её подпоследовательность { xnk } сходится к тому же числу a.

Теорема 2.7. (об арифметических действиях над сходящимися последовательностями)

Пусть последовательности { xn } и { yn } сходятся. Тогда

lim x →∞(xn ± yn)=lim x →∞ xn ±lim x →∞ yn;lim x →∞(xnyn)=lim x →∞ xn ⋅lim x →∞ yn;lim x →∞ xnyn =lim x →∞ xn lim x →∞ yn,еслиlim x →∞ yn ≠0.