Предел последовательности

Определение 2.7.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого числа ε>0 найдется номер n0=n0(ε)∈N такой, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство ∣∣xn−a∣∣ ˂ ε. Пишут

limn→∞xn=a или xn→a при n→∞.

В символической форме это определение имеет вид

limx→∞xn=a ⇔ ∀ϵ>0 ∃n0=n0(ϵ)∈: ∀n>n0 ⇒ |xn−a|&ϵ.

Последнее неравенство равносильно двойному неравенству a − ε ˂ xn ˂ a + ε. Следовательно, lim n →∞ xn = a, если для любого числа ε >0 найдется номер n 0(ε) такой, что начиная с номера n 0+1 все члены xn последовательности попадут в интервал (a − ε, a + ε). В этом интервале будет лежать бесконечное множество членов последовательности xn 0+1, xn 0+2,…, а вне интервала — конечное число членов последовательности x 1, x 2,…, xn 0 (рис. 2.1).