2015-06-24
4825
Определение 1.11.
Прямая, на которой выбраны направление, начало отcчета точка O и масштаб, называется числовой осью. Между действительными числами и точками числовой оси существует взаимно-однозначное соответствие: числу m∈R соответствует на оси точка M с абсциссой m. И обратно, каждой точке M числовой оси соответствует число m∈R абсцисса этой точки. Точка M лежит справа от точки O, если m>0 слева от точки O, если m ˂ 0 совпадает с точкой O, если m=0. Поэтому действительные числа часто называют точками, что позволяет геометрически изображать числовые промежутки на числовой оси.
Определение 1.12.
Любой интервал числовой оси, содержащий данную точку a, называют окрестностью этой точки и обозначают O(a). Если этот интервал симметричен относительно точки a и имеет длину 2ε, то его называют ε− окрестностью точки a и обозначают Oε(a). Очевидно, что любая точка x∈Oε(a) удовлетворяет неравенствам a−ε ˂ x ˂ a+ε.
Определение 1.13.
Правой (левой) δ− полуокрестностью точки a называют интервал a ˂ x ˂ a+δ (a−δ ˂ x ˂ a) и обозначают O+δ(a) (O+δ(a))
|
|
|
Определение 1.14.
Окрестность точки a без самой точки a называют проколотой окрестностью этой точки и обозначают O(a)\a.
Определение 1.15.
Множество значений x, для которых x>M, где M>0 некоторое число, называют M− окрестностью символа ∞ и обозначают OM(∞). Множество значений x>M (или x ˂ M), где M∈R, называют M− окрестностью символа +∞ (или −∞) и обозначают OM(+∞) (или OM(−∞)).
Определение 1.16.
Точка a называется внутренней точкой множества A, если существует окрестность этой точки, содержащая точки только этого множества и не содержащая точек, не принадлежащих множеству A. Точка a называется граничной точкой множества A, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству A, так и точки, не принадлежащие множеству A.
Например, x =1 для полуинтервала [0,2) есть внутренняя точка, x =0, x =2 граничные точки, причем точка x =0 принадлежит данному полуинтервалу, а точка x =2 не принадлежит.
