Ограниченные и неограниченные множества

Определение 1.17.

Множество A⊂R называется ограниченным сверху, если ∃M∈R:x≤M ∀x∈A.

Определение 1.18.

Множество A⊂R называется ограниченным снизу, если ∃m∈R: x≥m ∀x∈A.

Определение 1.19.

Множество A⊂R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е. ∃m,M∈R: m≤x≤M ∀x∈A. Из этого определения следует, что множество A⊂R ограничено, если ∃c>0, c∈R: |x|≤c  ∀x∈A.

Определение 1.20.

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

Например, множество A ={ x: x ˂2} ограничено сверху, так как x ˂2 ∀ x ∈ A  (M =2). Множество A ={ n: n ∈N} ограничено снизу, так как n ≥1 ∀ n ∈N (m =1). Ограниченными являются множества точек отрезка, конечного интервала или конечного полуинтервала. Множество A ={ xn: xn =1 n, n ∈N} ограничено, так как 0˂1 n ≤1, или ∣∣1 n ∣∣≤1 ∀ n ∈N (c =1).

Множество A ={ x:| x −2|≥1}, состоящее из элементов x, для которых x ≥3 или x ≤1, является неограниченным.

Числовые последовательности. Предел последовательности

Основные определения

Определение 2.1.

Пусть каждому натуральному числу n=1,2,3,… (n∈N) поставлено в соответствие по определенному закону некоторое действительное число xn∈R. Тогда множество занумерованных чисел x1,x2,…,xn,… называется числовой последовательностью или последовательностью и обозначается символом {xn}, т.е. {xn}={x1,x2,…,xn,…}. Отдельные числа xn называются элементами или членами последовательности {xn}.

Приведем примеры последовательностей:

1) { n }={1,2,…, n,…};

2) {(−1) nn }={−1,12,−13,…};

3) {(−1) n }={−1,1,−1,…};

4) {2 n −1 n }={1,32,53,…}.

Определение 2.2.

Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если ∀n∈N выполняется неравенство xn≤xn+1 (xn≥xn+1). Последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей), если ∀n∈N выполняется неравенство xn ˂ xn+1 (xn>xn+1).

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными, а возрастающие и убывающие — строго монотонными.

Укажем примеры таких последовательностей: 1,12,13,14,… — убывающая (строго монотонная) последовательность; 1,1,2,2,3,3,4,4,… — неубывающая (монотонная) последовательность; 2,4,6,8,10,… — возрастающая (строго монотонная) последовательность; 12,14,14,16,18,18,110,… — невозрастающая (монотонная) последовательность; последовательность 1,1,−1,… не является ни монотонной, ни, тем более, строго монотонной; последовательность 1,−12,3,−14,5,−16,… также не является монотонной.

Пример 2.1.

Доказать, что последовательность { xn }={2 nn!}, n ∈N, строго убывает начиная с n =2.