Лема. Відображення j множини А на множину В – взаємно однозначне (бієктивне), якщо воно також ін’єктивне

Зокрема, взаємно однозначним відображенням А на А є діагональне відношення d_А, що часто називають тотожним відображенням А в себе.

Теорема. Відображення j множини А на множину В взаємо-однозначне (у цьому випадку множини А і В – еквівалентні) тоді і тільки тоді, коли j°j^-1=d_A, j ^-1°j = d_B, де d_A, d_B - тотожні відображення множин А и В відповідно.

Наслідок. Якщо А=В, то відношення j - взаємно однозначне відображення множини А на себе тоді і тільки тоді, коли j°j^-1=j ^-1°j=d_A.

Приклад. Відображення j множини A = {a, b, c} на множину
B = {1, 2, 3} з графіком j_A,B ={(a, 3), (b, 1), (c, 2)} є взаємно однозначне, j°j^-1= d_A ={a, b, c}, j ^-1°j = d_B ={1, 2, 3}.

7.2. Спеціальні властивості відношень

Визначення. n-відношення r_Aⁿ на множини А називається:

- рефлексивним, якщо для будь-якого аÎA виконується
r_Aⁿ(а, а,…,а), тобто d_AⁿÍr_Aⁿ;

- антирефлексивним, якщо не існує аÎA, для якого виконується r_Aⁿ(а, а,…,а), тобто d_AⁿÇr_Aⁿ=Æ;

- іррефлексивним (нерефлексивним), якщо для деяких, але не для всіх аÎA виконується r_Aⁿ(а, а,…,а), тобто d_AⁿËr_Aⁿ і d_AⁿÇr_Aⁿ¹Æ.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b}. Тернарні відношення r1_A³ = {(a,a,a), (b,b,b), (a,b,b), (b,a,b)}, r2_Aⁿ = {(a,b,b), (b,b,b), (a,b,a), (b,a,b)}, r3_Aⁿ = {(a,b,a), (b,b,b), (a,b,b), (b,a,b)} відповідно рефлексивне, антирефлексивне, іррефлексивне.

Визначення. Бінарне відношення r_A на множині А називається:

- рефлексивним, якщо для будь-якого аÎA виконується
r_A(а, а), тобто d_A Í r_A;

- антирефлексивним, якщо не існує аÎA, для якого виконується r_A(а, а), тобто d_A Ç r_A=Æ;

- іррефлексивним (нерефлексивним), якщо для деяких, але не для всіх аÎA виконується r_A(а, а), тобто d_A Ë r_A і d_AÇr_A¹Æ.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b}. Бінарні відношення r1_A = {(a,a), (b,b), (a,b)}, r2_A = {(a,b), (b,a)}, r3_A = {(a,b), (b,b), (b,a)} відповідно рефлексивне, антирефлексивне, іррефлексивне.

Визначення. n-відношення r_Aⁿ на множині А називається:

- симетричним, якщо при справедливості r_Aⁿ(а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і) графік r_Aⁿ містить і будь-яку перестановку вектора
(а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і);

- антисиметричним, якщо для кожного вектора (а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і), для якого справедливо r_Aⁿ(а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і), графік r_Aⁿ не містить хоча б одну перестановку вектора (а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і);

- асиметричним, якщо воно не є ні симетричним, ні антисиметричним, тобто для деяких векторів виконується властивість симетричності, а для деяких векторів – властивість антисиметричності.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b}. Тернарні відношення r1_A³ = ={(a,a,b), (b,b,b), (a,b,a), (b,a,a)}, r2_Aⁿ = {(a,b,b), (b,b,b), (a,b,a)}, r3_Aⁿ = {(a,b,a), (b,b,b), (a,b,b), (b,a,b), (b,b,a)} відповідно симетричне, антисиметричне, асиметричне.

Визначення. Бінарне відношення r_A на множині А називається:

- симетричним, якщо при справедливості r_A(а₁, а₂) графік r_A містить і вектор (а₂, а₁);

- антисиметричним, якщо для кожного вектора (а₁, а₂), для якого справедливо r_A(а₁, а₂), графік r_A не містить вектор (а₂, а₁);

- асиметричним, якщо воно не є ні симетричним, ні антисиметричним, тобто для деяких векторів виконується властивість симетричності, а для деяких векторів – властивість антисиметричності.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b, c}. Бінарні відношення r1_A = ={(a,a), (b,a), (a,b)}, r2_A = {(a,b), (b,b), (c,c)}, r3_A = {(a,b), (b,b), (b,a), (c,a)} відповідно симетричне, антисиметричне, асиметричне.

Визначення. Бінарне відношення r_A на множині А називається транзитивним, якщо зі справедливості r_A(a, b) і r_A(b, с) випливає справедливість r_A(а, с) для будь-яких a, b, cÎA, у іншому разі відношення не транзитивне.

Визначення. Бінарне відношення r_A на множини А називається зв'язним, якщо для будь-яких a, bÎA справедливо r_A(a, b) чи r_A(b, а), у іншому разі відношення не зв'язне.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b, c, d}. Бінарні відношення r1_A = {(a,c), (b,a), (c,d), (b, c), (b, d), (a, d)}, r2_A = {(a,b), (b,c), (c,d), (a,c)} відповідно транзитивне і нетранзитивне.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b, c, d}. Ті сами бінарні відношення з попереднього прикладу r1_A = {(a,c), (b,a), (c,d),
(b, c), (b, d), (a, d)}, r2_A = {(a,b), (b,c), (c,d), (a,c)} відповідно зв’язне і незв'язне.

Якщо відношення r_Aⁿ задовольняє кожної з перерахованих властивостей, то обернене відношення (r_Aⁿ)^-1 задовольняє цю же властивість.

Контрольні запитання

1. Що є проекцією, перерізом, об’єднанням і фактор-множиною для n-арних відношень?

2. Які n-арні відношення є функціональними, ін’єктивними?

3. Які n-арні відношення є скрізь визначеними, сюр’єктивними?

4. Яка функція називається зв'язаною з n-арним відношенням jⁿ?

5. У чому різниця між відображенням множини А в множину В і відображенням множини А на множину В?

6. Що є образ і прообраз для відношення, чи можливе узагальнення образа і прообраза на n-арні відношення?

7. У чому різниця між рефлексивним, антирефлексивним і іррефлексивним бінарними (n-арними) відношеннями?

8. Що є симетричним, антисиметричним і асиметричним бінарним (n-арним) відношенням?

9. Що означає транзитивність і нетранзитивність для бінарних відношень?

10. Яка різниця між зв’язністю і лінійністю для бінарних відношень?