Функціонали

Нехай е множини А, В, С і [В®С] - множина функцій з В у С.

Визначення. Функція f:A®[B®C] називається функціоналом, тобто для будь-якого аÎA f(a) - функція - f(a):B®C, для будь-якого bÎB f(a)(b)ÎC.

Необхідно мати на увазі, що множини функцій [B®С] можуть розглядатися як і будь-які інші множини, тобто функціоналів слід розглядати як функції, що мають нетривіальні області значень.

Приклад. Нехай функція f:A®[B®C] визначає терміновість кореспонденції, функція - f(a):B®C – вибір транспортного засобу в залежності від терміновості (потяг, літак,...).

Функції, що зберігають алгебраїчні властивості

Існують функції, що зберігають алгебраїчні властивості і структури.

Визначення. Нехай X і U - множині, а r_x і r_у – деякі відношення на них і нехай f:X®U - таке відображення, що з відношення x₁r_xx₂ випливає відношення (f(x₁))r_у(f(x₂)), тобто f є відображенням, що зберігає відношення r_x у відношенні r_у.

Найпростіший приклад - для еквівалентності.

Приклад. Нехай X і U - множині, а r_x і r_у - відношення еквівалентності на них і нехай f:X®U - відображення. Нехай далі f:C/r_х®U/r_у таке, що f={([x][y])½y=f(x), xÎC, yÎU}, де [x] і [y] - класи еквівалентності відповідно з x і y. Якщо f - функція, то з x₁rx₂ випливає, що f([x₁])=f([x₂]), і f є відображенням, що зберігає еквівалентність. У цьому випадку говорять, що f:C®U індуцірує відображення f:C/r_C®U/r_U.

9.3. Операції