Групи підстановок і кільце множин

11.2.1. Групи підстановок

Розгляд деяких систем можна почати із групи підстановок, загального опису яких наводився раніше. Групова операція задається внутрішнім законом композиції – композицією підстановок. Необхідно звернути увагу на зміст слова «композиція» у попередній фразі.

Визначення. Композиція (добуток) підстановок а й b — це композиція двох взаємно однозначних відображень множини об'єктів N на себе, тобто N ^a® N ^b® N, у результаті чого виходить деяка підстановка ab.

Опреділення. Закон композиції - це відображення множини всіх пар підстановок (а, b) на множину підстановок S, тобто S´S®S, що здійснюється відповідно до правила композиції (множення) підстановок.

Нейтральним елементом у групі підстановок є тотожна
підстановка е, а симетричним елементом для будь-якої підстановки а — симетрична підстановка а^-1. Тому що композиція підстановок не підкоряється комутативному закону (ab ¹ bа), то група підстановок n-го ступеня при n >3 - не комутативна.

Якщо множина N кінцева й містить n чисел, то множина S всіх підстановок n-го ступеня також кінцева й містить n! елементів. Така група називається симетричною групою порядку n! (порядок групи визначається числом її елементів).

Підгрупи симетричних груп називають групами підстановок. До них належать одинична група, що містить тільки нейтральний елемент (тотожну підстановку), і сама симетрична група. Однак, крім цих тривіальних груп, є багато підгруп симетричної групи, що є групами підстановок.

Приклад. Групу утворює множина всіх парних підстановок (знакозмінна група). Множина всіх підстановок, що переводить Якій-небудь елемент у себе, також є групою.

Підгрупами симетричних груп вичерпуються всі скінченні групи.