Теорема Кели. Усяка кінцева група порядку n може бути представлена групою підстановок n-го ступеня її елементів

Приклад. Групі третього порядку із груповою операцією, заданою табл. 11.8, відповідає група підстановок {а₁ а₂, а₃},

Таблиця 11.8

де a₁ = éx₁ x₂ x₃ù a₂ = éx₁ x₂ x₃ù a₃ = éx₁ x₂ x₃ù

ëx₂ x₃ x₁û ëx₃ x₁ x₂û ëx₁ x₂ x₃û

Нейтральним елементом цієї групи щодо закону Т є a₃, a підстановки а₁ й а₂ — взаємно симетричні елементи (а₁a₂ =
= a₂а₁= а₃; а₁ = а₂^-1; а₂ = а₁^-1). Якщо елементи вихідної групи пронумерувати й замінити відповідними їм числами, то

a₁ = é1 2 3ù a₂ = é1 2 3ù a₃ = é1 2 3ù

ë2 3 1û ë3 1 2û ë1 2 3û

Ця група підстановок є підгрупою симетричної групи, що, крім підстановок а₁ а₂ й а₃, містить підстановки кожна з яких обернена самії собі.

a₄= é1 2 3ù a₅ = é1 2 3ù a₆ = é1 2 3ù

ë1 3 2û ë3 2 1û ë2 1 3û

При великому n для представлення скінченної групи n-го порядку використовується в основному мала частина перестановок симетричної групи.

11.2.2. Кільце множин

Визначення. Непуста система множин утворить кільце множин, якщо для будь-яких А і В цієї системи А+В и АÇВ також належать до цієї системи множин.

Тут визначені два внутрішніх закони композиції: диз'юнктивної суми й перетинання. Нейтральним елементом щодо суми служить порожня множина Æ, тому що А+Æ = А. Симетричним для кожного А є сама ця множина, тому що А+А = Æ.

Другий закон є асоціативний A Ç (В ÇС) = (A Ç В) Ç С и дистрибутивним щодо першого закону, тобто виконується А Ç (В+С) =
= (А Ç B)+(A Ç C).

Нейтральний елемент (одиниця) U щодо другого закону (перетин) визначається співвідношенням А Ç U = А, звідки випливає, що U є максимальною множиною цієї системи, що містить всі інші вхідні в систему множини (універсум U). Якщо такий елемент існує, то є кільце з одиницею (унітарне кільце). Так, унітарне кільце утвориться системою всіх підмножин довільної множини U.

Приклад. Кільцем (без одиниці) може бути множина всіх обмежених відрізків числової прямої (не існує обмеженого відрізка, що служив би одиницею кільця, тобто містив всі обмежені відрізки прямої).

Тому що для будь-яких А і В справедливі співвідношення: АÈВ =
= (А+В) + (А Ç В) і А\В = А + (А Ç В), то кільце множин містить також AÈВ и А\В. Говорять, що кільце замкнуте щодо об'єднання й перетин, різниці й диз'юнктивної суми.

Контрольні запитання

1. Що розуміють під групою? Що розуміють під абелевой групою?

2. Що розуміють під кільцем? Які кільця можливі?

3. Що додає до кільця тіло, поле?

4. Яка різниця між системою й підсистемою?

5. Що таке ідеал?

6. Що розуміють під дільниками нуля?

7. Що таке кільце цілісності?

8. Що називається композицією (добутком) підстановок а й b?

9. Що є законом композиції для композиції підстановок?

10. Що затверджує теорема Кели?

11. Що називають кільцем множин?