Внутрішній закон композиції

10.2.1. Властивості внутрішнього закону

Операції на множині S можуть мати деякі загальні властивості, які звичайно виражаються співвідношеннями між елементами з S:

Комутативність а Т b = b Т а

Асоціативність а Т (b Т с) = (а Т b) Т с

Дистрибутивність

зліва (а Т b) ^ с = (а ^ с) Т (b ^ с)

і праворуч с ^ (а Т b) = (с ^ а) Т (с ^ b).

Приклад. Ha множині дійсних чисел додавання й множення асоціативні й комутативні. Множення дистрибутивно (ліворуч і праворуч) щодо додавання, але додавання не дистрибутивно щодо множення, тому що взагалі а+bc ¹ (а+b)(а+с). Піднесення до ступеня не асоціативне (а^b)^c ¹ а(b^с), не комутативне a^b ¹ b^а, але дистрібутивне праворуч щодо множення, тому що (ab)^c = a^cb^c.

Приклад. Перетин й об'єднання множин взаємно дистрибутивні відносно один одного. Якщо в множині F Ì S композиція будь-яких двох елементів з F також належить F, то F називається замкнутою щодо розглянутого закону композиції. Так підмножина парних чисел є замкнутою щодо додавання й множення.

10.2.2. Регулярний, нейтральний і симетричний елементи

Закон композиції наділяє елементи множини деякіми загальними властивостями. При різних законах ті самі елементи можуть мати різні властивості. Можна говорити про властивості елементів множини S щодо заданого на ньому закону композиції T.

Елемент а називається регулярним, якщо із відношень а T х = а Т у и х T а = у T а випливає х = у (скорочення на регулярний елемент). Усяке число регулярно щодо додавання, а для множення регулярно всяке число, крім нуля (0x = 0у не тягне х = у).

Нейтральним елементом е Î S називають такий елемент, що для всіх елементів х з S справедливо е T х = х T е = х (якщо нейтральний елемент існує, то він єдиний і регулярний). Серед чисел нуль - нейтральний елемент щодо додавання, а одиниця - щодо множення.

Приклад. Порожня множина є нейтральним елементом щодо об'єднання, а універсум - щодо перетину. На множині всіх квадратних матриць n-ro порядку із числовими елементами нульова й одинична матриці служать відповідно нейтральними елементами щодо додавання й множення.

Якщо множина містить нейтральний елемент е щодо закону композиції Т, то елемент b називається симетричним (зворотним, протилежним) елементу а, якщо а T b = b T a = е; при цьому а називають елементом, що симетрується, й b позначається через `а, тобто b = `а. Щодо асоціативного закону, елемент `а, симетричний елементу а (якщо він існує), єдиний і регулярний.

При додаванні симетричним деякому числу х буде -х, а при множенні х^-1.

Приклад. Симетричними елементами на множині квадратних матриць n-го порядку щодо множення є взаємно оберненні матриці. Множина всіх власних підмножин щодо об'єднання або перетин не містить симетричних елементів.

Множина, у якої всякій елемент має симетричний відносно себе, називається таким, що симетрується.

10.2.3. Адитивні й мультиплікативні позначення

Властивості законів композиції можна представити у двох формах. В адитивних позначеннях операція Т записується символом додавання (+), а в мультиплікативних - символом множення (•).

Якщо множина наділена двома законами композиції, то найчастіше перший з них Т важається адитивним, а другий ^ уважається мультиплікативним. В адитивному запису нейтральний елемент позначається через 0 і називається нулем, а симетричний елементу а позначається через (-a). У мультиплікативному запису нейтральний елемент позначається через 1 і називається одиницею, а симетричний елементу а позначається через а^-1.

Приклад. Як відзначалося, множина цілих чисел володіє адитивною операцією + і мультиплікативною операцією ´, нулем 0 й одиницею 1.

Приклад. Множина довільних об'єктів володіє адитивною операцією È і мультиплікативною операцією Ç, нулем Æ і одиницею U.

Якщо закон композиції асоціативний й комутативний, а елементи множини х₁ х₂,..., х_n Î S відзначені операторним індексом i, то в адитивному запису

х₁ + х₂, +..., + х_n = S_i=1ⁿ х_i

і в мультиплікативному запису

х₁ • х₂, •..., • х_n = P_i=1ⁿ х_i

Тут, на відміну від елементарної алгебри, знаки (+) і (•) не обов'язково означають додавання й множення чисел. Вони просто заміняють у різних співвідношеннях символи Т и ^, указуючи на те, що над елементами множини (необов'язково числами) виконуються деякі операції. Ці операції можуть лише зовні нагадувати звичайні операції додавання або множення чисел, але у загальному випадку – це інші операції.

Зручність адитивних і мультиплікативних позначень полягає в тому, що при операціях над числами різні відношення збігаються із загальноприйнятою формою запису.

Контрольні запитання

1. Що розуміють під знаком операції, операндами, оперторами й результатом операції?

2. Що називають законом композиції?

3. У чому розходження між зовнішнім й внутрішнім законами композиції?

4. Що розуміють під групоїдом?

5. Як побудувати матрицю й граф групоїда?

6. Якіми властивостями володіє внутрішній закон композиції?

7. Що називається регулярним, нейтральним і симетричним елементами відповідно?

8. Яка множина називається такою, що симетрується?

9. Що розуміють під адитивними й мультиплікативними операціями? Наведіть приклади адитивних і мультиплікативних операцій.

10. Як позначаються нейтральні елементи для адитивної й мультиплікативної операцій?