Список літератури. 1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера

Основна

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.137-141.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986. - С.6-47.

3. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учеб. Для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С.112-273.

4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.51-78.

Додаткова

5. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учеб. Для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С.112-175.

6. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.134-195.

7. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.204-236, 258-346.

8. Ван Дер Варден Б.Л. Алгебра – М.: Наука, 1979. – С.20-80.

9. Мальцев А.И. Алгебраические системы – М.: Наука, 1970. - С.42-138.

10. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973. - С.33-107.

Для практичних занять

11. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915. Частина друга / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2005. – С.4-6.

Лекція 11. Алгебраїчні системи

Вступ

Лекція має за мету навести базові поняття алгебраїчних систем. Розглянуто основні визначення груп, кілець, тіл і полів, розглянуті поняття підсистеми й дільників нуля, окремо досліджені властивості груп підстановок і кільце множин. Звернено увагу на властивості законів композиції алгебраїчних систем.

У лекції присутні два параграфи:

11.1. Алгебраїчні системи (моделі)

11.2. Групи підстановок і кільця множин

11.1 Алгебраїчні системи (моделі)

11.1.1. Основні визначення

Визначаючи на деякій множині S один або два закони композиції й наділяючи їхніми певними властивостями, а також задаючи структуру множини щодо законів композиції (наявність нейтрального елемента й можливість множини симетруватися), можна одержати різні алгебраїчні системи (структури або моделі). Найбільше зручні з них наведені
в табл. 11.1, де зірочка (*) указує на те, що даний закон має відзначені властивості і множина містить щодо цього закону відповідні елементи.

Визначення. Група - це наділена асоціативним законом множина, що містить нейтральний елемент і симетрується щодо цього закону. Якщо, крім того, закон композиції комутативний, то групу називають абелевою (комутативною).

У всякій групі відношення (рівняння) a T x = b й y T a = b допускають єдине розв’язання х = `а T b (частка праворуч) і у = b Т `а (частка ліворуч). Має місце також відношення ù(а T b) = `b Т `а або
-(а + b) = -b -а (в адитивному запису) і (а • b)^-1 = b^-1 • а^-1 (у мультиплікативному запису).

Визначення. Кільце - це множина, наділена двома законами композиції: щодо першого (адитивного) воно утворює абелеву групу, а другий закон (мультиплікативний) є асоціативним, а також дистрибутивним щодо першого закону.

Визначення. Тілом називають кільце з одиницею, в якому кожен відмінний від нуля елемент володіє симетричним щодо другого (мультиплікативного) закону.

Визначення. Поле - це комутативне тіло.

Алгебраїчні системи дозволяють виявити властивості операцій на множинах об'єктів різної природи, використовувані при розв’язанні технічних задач. З наведених систем найбільш широкими поняттями є моноід і група, а найбільш вузькими - тіло й поле.

Алгебраїчні системи (моделі) Таблиця 11.1

Назва алгебраїчних систем	Перший закон (адитивний)	Другий закон (мультиплікативний)
Властиво-сті	Елементи	Властиво-сті	Елементи
Асоціа-тивність	Комута-тивність	Нейтраль-ний	Симет-ричний	Асоціа-тивність	Комутати-вність	Нейтраль-ний	Симет-ричний
Півгрупа (моноїд)	*
Абелева (комутативна) півгрупа	*	*
Півгрупа з нулем (одиницею)	*		*
Абелева півгрупа з нулем (одиницею)	*	*	*
Група	*		*	*
Абелева (комутативна) група	*	*	*	*
Асоціативне кільце	*	*	*	*	*
Абелево (комутативне) кільце	*	*	*	*	*	*
Кільце з одиницею (унітарне кільце)	*	*	*	*	*		*
Абелево кільце з одиницею	*	*	*	*	*	*	*
Тіло	*	*	*	*	*		*	*
Поле (комутативне тіло)	*	*	*	*	*	*	*	*

Примітки.

1. Другий закон композиції, якщо він визначений, є дистрибутивним ліворуч і праворуч щодо першого закону.

2. Симетричні елементи щодо другого закону визначені для всіх елементів, крім нейтрального елемента щодо першого закону (нуля).

11.1.2. Підсистеми

Визначення. Усяку частину системи, що знову є системою щодо тих же законів, називають підсистемою.

Зокрема, усяка підгрупа повинна містити нейтральний елемент групи. Підкільце утворить підгрупу адитивної групи кільця й замкнуто щодо мультиплікативного закону.

Визначення. Підкільце I абелева кільця К називається ідеалом
(у цьому кільці), якщо I є адитивна підгрупа кільця. Композиції будь-яких елементів а й b з I щодо першого закону також належать I, тобто а+b Î I й а-b Î I. В результаті застосування до елемента з I і будь-якого елемента з К другого закону виходить елемент із I, тобто для будь-яких а Î I і х Î K має місце а • х Î I).

Приклад. Множина парних чисел є ідеал у кільці цілих чисел, розглянутому як адитивна група, а другим законом є операція множення (добуток парного числа на будь-яке ціле число дає парне число).

11.1.3. Дільники нуля

Якщо деякій парі елементів а й b з кільця, які відмінні від нейтрального елемента першого закону, другий закон ставить у відповідність цей нейтральний елемент, то говорять, що елементи а й b є дільниками нуля (а • b = 0 при а ¹ 0 й b ¹ 0).

Приклад. 3 • 2 = 0 (mod 6), тобто числа 3 й 2 - дільники нуля в кільці відрахувань за модулом 6. У кільці квадратних матриць другого порядку дільника нуля – це ненульові матриці, добутки яких дорівнюють нульовій матриці.

é2 6ù é3 -9ù = é0 0ù

ë1 3û ë-1 3û = ë0 0û

Визначення. Кільце без дільників нуля називається кільцем цілісності.

У кільцях цілісності справедливий закон скорочення: з а • х = а • в або х • а = в • а треба х = в. Область цілісності - це комутативне кільце, що має нейтральний елемент (одиницю) щодо другого закону і не має дільників нуля, наприклад, область цілісності - цілі числа й багаточлени.