Простейшие задачи аналитической геометрии

К простейшим задачам аналитической геометрии относятся задачи вычисления расстояния между двумя точками, деления отрезка в данном отношении и нахождения площади треугольника.

1. Расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками А и В равно длине вектора :

, (3.1)

где – координаты точки А, – координаты точки В.

2. Деление отрезка в данном отношении.

2 Отношением, в котором точка М делит отрезок АВ (рис. 3.1) называется число .

Если точка М находится между точками А и В, то величины направленных отрезков и будут одного и того же знака независимо от выбора направления на прямой АВ. В этом случае число l будет больше нуля. Если же точка М находится за пределами отрезка АВ, то число l меньше нуля.

g Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении можно найти по формулам:

(3.2)

4 Спроектируем точки А, В, и М на ось Ox (рис. 3.2). Очевидно, что точка R (проекция точки М) делит отрезок PQ в отношении . Следовательно, . Из последнего равенства выразим x_M: . Аналогично, проектируя точки А, В, и М на ось Oy, получаем, что

3

В частности, когда точка М делит отрезок АВ пополам, то и формулы (3.2) примут вид:

(3.3)

3. Вычисление площади треугольника.

g Площадь треугольника АВС, вершины которого имеют координаты
(x_A; y_A), (x_B; y_B), (x_C; y_C) равна

. (3.4)

4 Если рассматривать треугольник ABC в трехмерном пространстве, то его вершины будут иметь координаты: A (x_A; y_A; 0), B (x_B; y_B; 0), C (x_C; y_C; 0). Площадь треугольника можно найти по формуле (2.8): , где , .

Сначала найдем векторное произведение векторов и по формуле (2.12):

Таким образом,

.3

Задача 3.1. Дан треугольник A (2; 7), B (–5; 7), C (5; 3). Найти:
1) длины сторон треугольника ABC; 2) площадь треугольника; 3) основание биссектрисы AF угла А.

Решение. 1) Длины сторон найдем по формуле (3.1):

(ед),

(ед),

(ед).

2) Площадь треугольника вычислим по формуле (3.4):

(ед ²).

3) Основание биссектрисы AF (точку F) найдем, используя то, что точка F делит противоположную сторону BC треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Для нахождения координат точки F используем формулы деления отрезка в данном отношении (3.2):