2015-06-28
453
Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.
Суммой векторов а и в с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е.
а (а1; а2) + в (в1;в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).
Следствие:
а + в = в + а, (коммутативность)
а + (в + с) = (а + в) + с. (ассоциативность)
Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.
а и в – векторы (рис.5).
Пусть ОА =а, ОВ = в.
1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.
2. а = ОА = ВС,
в = ОВ = АС, т.к. параллелограмм.
3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС, значит а + в = в + а. ч.т.д.
|
|
|
Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.
(а + в) + с = (ОА + АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС,
а + (в + с) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,
откуда и следует равенство а + (в + с) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов.
Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.
