Определение 2. Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения

На рис. 2.3:

а) и б) – не преобразования пространства;
в) и г) – преобразования пространства.

Определение 4. Рассмотрим параллельные лучи и , начинающиеся в точках и . Они всегда лежат в одной плоскости , которая делится прямой , проходящей через и , на две полуплоскости. Лучи и называются сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости, и контранаправленными в противном случае (рис. 2.3). В случае, когда и лежат на одной прямой, то они называются сонаправленными, если их пересечение есть луч и контранаправленными - если их пересечение не есть луч (рис. 2.4).

и - сонаправлены.	и - контранаправлены.
рис. 2.5

Определение 5. Вектором называется преобразование пространства , переводящее произвольную точку пространства в точку таким образом, что произвольная точка переходит в точку , точку , причем лучи и сонаправлены, а расстояние между точками и : равно расстоянию между точками и :

, т.е. .

Таким образом, направленный отрезок, о котором шла речь выше, можно рассматривать как модель вектора. Этот отрезок указывает, на какую величину и в каком направлении произошел сдвиг всего пространства.

Как всегда в математике, под вектором понимают не только правило, по которому осуществляется преобразование пространства (рис.2.5), но и его результат. В этом случае удобно говорить о векторе и равному ему векторе , а именно:

Определение 6. Говорят, что вектор равен вектору , если:

1) они лежат на сонаправленных лучах (носителях);

2) .

Определение 7. Сумма векторов определяется, по правилу многоугольника (см. начало пункта), и из него, в частности, следует известное из школы правило параллелограмма для сложения векторов. В частности, суммой векторов и называется вектор, проведенный из начала вектора к концу вектора , если конец вектора и начало вектора совмещены.

Правило многоугольника (в частности, в случае треугольника) и параллелограмма можно проиллюстрировать таким образом:

Определение 8. Под произведением вектора на число , (действительное число, не равное 0) понимается вектор , такой что:

1) ;

2) при вектора и лежат на сонаправленных, а при - на контранаправленных лучах.

Определение 9. При вектор называется противоположным вектору .

Определение 10. , называется нуль вектором. Он не имеет направления, что позволяет считать его параллельным любому вектору и, кроме того, нулевой вектор совпадает со своим противоположным. Нуль вектор можно также определить, как произведение вектора на число нуль: .

Определение 11. Под разностью векторов и понимают вектор .

Пример. Дано: вектор .

Найти: и .

Решение:

Определение 12 Совокупность всех векторов геометрического пространства образует множество, на котором определены операции равенства, сложения, умножения вектора на число, причем:

1) в результате их применения получается вектор из этого же мно­жества;

2) эти операции подчиняются следующим правилам: , , – векторов и – действительных чисел:

· – коммутативность сложения;

· – ассоциативность сложения;

· – ассоциативность умножения;

· – существование нуль вектора;

· – существование тождественного вектора;

· – связь вектора с противоположным;

· – дистрибутивность относительно сложения векторов;

· – дистрибутивность относительно сложения чисел.

Такое множество называется векторным пространством над множеством действительных чисел.

Позднее мы обобщим понятие вектора и внесем в понятие векторного пространства новое содержание.

Пример. Дано: – точка пересечения медиан треугольника , О – произвольная точка пространства.

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим векторы: , , . Найдём . Покажем, что .

Построим параллелограмм . По правилу параллелограмма: . Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, следовательно, .

Точка является серединой стороны треугольника, а – его медиана. Медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому . Таким образом, , но , следовательно . ■

Пример. Дано: произвольные вектора и .

Доказать:

1. . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ;

2. . Равенствоимеет место тогда и только тогда, когда и | | | |.

Доказательство:

Если один из векторов или нулевой, то эти неравенства очевидны. Пусть и – ненулевые векторы и пусть направленный отрезок изображает вектор .

Отложим вектор , тогда изображает . Получаем равенство , которое имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. векторы и сонаправлены.

Рассмотрим . Следовательно, . Равенство , как доказано выше, имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонправлены, т.е. сонаправлены векторы и , . Отсюда . ■