П. 3 Базис в пространстве

Определение 1. Векторы , , называются компланарными, если они лежат на одной или параллельных плоскостях.

Определение 2. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка произвольных некомпланарных векторов. АСК в пространстве называется совокупность фиксированной точки и некоторого базиса , приведённого к этой точке.

Теорема1. Пусть некоторая АСК в пространстве. Тогда любой вектор можно представить в виде , и притом единственным образом.

Доказательство:

Совместим начало вектора с началом координат точкой . Проведем через конец вектора две прямые:

§ первую параллельно вектору до пересечения с плоскостью, в которой лежат и ;

§ вторую параллельно плоскости, в которой лежат и , до пересечения с прямой, на которой лежит вектор .

Тогда – параллелограмм, следовательно, . Вектор лежит на плоскости, образованной векторами и . По теореме о разложении по базису на плоскости имеем .

Вектор коллинеарен вектору , следовательно, . Таким образом .

Нетрудно показать единственность разложения. ■

Пример. Дано: Векторы , и некомпланарны.

Доказать: .

Доказательство:

Если хотя бы одно из чисел в равенстве, например , то равенство эквивалентно равенству , где , , что означает компланарность векторов . Получили противоречие условию. Следовательно, .