Теорема1. Критерий линейной зависимости

Для того чтобы система векторов была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные числа , не равные нулю одновременно, такие, что . (1)

(,…, – система линейно зависима) .

Доказательство:

Необходимость. Пусть система линейно зависима. Тогда по определению хотя бы один из векторов системы, например, , можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: . Прибавим к обеим частям равенства – , получим: .

Положим , , не все равны нулю одновременно, причем выполняется равенство (1).

Достаточность. Пусть существуют , такие, что . Среди чисел , по крайней мере, одно не равно нулю, например, . Тогда получим , что означает по определению линейную зависимость векторов ,…, . ■