2015-06-28
352
Для того чтобы система векторов 
была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные числа 
, не равные нулю одновременно, такие, что 
. (1)
(
,…, 
– система линейно зависима) 
.
Доказательство:
Необходимость. Пусть система линейно зависима. Тогда по определению хотя бы один из векторов системы, например, 
, можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: 
. Прибавим к обеим частям равенства – , получим: 
.
Положим 
, 
, не все 
равны нулю одновременно, причем выполняется равенство (1).
Достаточность. Пусть существуют 
, 
такие, что 
. Среди чисел , по крайней мере, одно не равно нулю, например, 
. Тогда получим 
, что означает по определению линейную зависимость векторов ,…, . ■
