П. 6 Свойства проекций

Определение 1. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением.

Определение 2. Геометрической проекцией вектора называется вектор , где и – ортогональные проекции точек А и В на ось .

Определение 3 Алгебраической проекцией вектора на ось называется число, равное длине , взятое со знаком “ ”, если , и со знаком “-”, если . Обозначается Пр _l .

Теорема1. .

Доказательство:

Так как , то . С другой стороны, = . ■

Теорема 2. .

Доказательство:

Пусть . Перенесём вектор так, что его начало находилось на прямой . Тогда треугольники и подобны. Если , а , то . Отсюда .

Так как , то . Значит, .

Если же , то треугольники и так же подобны. Но . ■

Теорема 3. , где – угол между вектором и положительным направлением оси .

Доказательство:

1. Угол – острый, тогда очевидно, что , т.е. .

2. Угол – тупой. Так как , , то . ■